Какой знак арифметического действия надо записать в кружок, чтобы равенство 15 * 3 = 3 O 15 стало верным?
Варианты ответов: "+"; "="; "*"; ":".

Для решения задачи необходимо хорошо понимать свойства арифметических операций, обратимость операций, а также законы математики, применимые к данной ситуации. Мы будем опираться на базовые понятия умножения, деления, сложения и равенства, чтобы теоретически обосновать выбор знака.

1. Разбор выражений и равенства:
   Рассматривается равенство:
   $ 15 \cdot 3 = 3 \, O \, 15 $,
   где нужно определить знак $ O $, чтобы равенство стало верным.

2. Свойства умножения:
   Умножение ($ \cdot $) — это арифметическое действие, которое увеличивает первое число в зависимости от второго. Формально, умножение двух чисел $ a $ и $ b $ можно описать как повторение сложения $ a $ ровно $ b $ раз:
   $$ a \cdot b = a + a + \dots + a \, (b \, \text{разов}). $$
   Пример: $ 15 \cdot 3 = 45 $, потому что $ 15 + 15 + 15 = 45 $.

3. Свойства деления:
   Деление ($ : $) — это операция, обратная умножению. Если $ c = a \cdot b $, то $ a = c : b $ или $ b = c : a $. Деление показывает, сколько раз одно число помещается в другое. Например, $ 45 : 15 = 3 $, потому что $ 15 \cdot 3 = 45 $.

4. Свойства сложения:
   Сложение ($ + $) — это операция, которая объединяет два числа. Если $ a + b = c $, то $ c $ является суммой чисел $ a $ и $ b $. Например, $ 15 + 3 = 18 $.

5. Свойства равенства:
   Равенство ($ = $) показывает, что два выражения (или числа) имеют одинаковое значение. В задаче нам дано ровно два выражения: $ 15 \cdot 3 $ и $ 3 \, O \, 15 $. Мы должны выяснить, какой знак $ O $ сделает их равными.

6. Анализ задачи:
   Чтобы равенство стало верным, необходимо, чтобы результат выражения $ 15 \cdot 3 $ был равен результату выражения $ 3 \, O \, 15 $. То есть $ 45 = 3 \, O \, 15 $, где $ 45 $ — это результат умножения $ 15 \cdot 3 $.

7. Проверка каждого знака:

   • Если $ O = + $: $ 3 + 15 = 18 $, что неравно $ 45 $. Знак $ + $ не подходит.

• Если $ O = : $:
  $ 3 : 15 $ означает деление 3 на 15. Это выражение равно $ \frac{3}{15} = 0.2 $, что также неравно $ 45 $. Знак $ : $ не подходит.

• Если $ O = * $:
  $ 3 \cdot 15 $ означает умножение 3 и 15. Результат $ 3 \cdot 15 = 45 $, что совпадает с $ 15 \cdot 3 $. Знак $ * $ подходит.

• Если $ O = = $:
  $ 3 = 15 $ — это утверждение, что 3 равно 15, что является неверным с математической точки зрения. Знак $ = $ не подходит.

1. Вывод: На основании свойств арифметических операций и анализа вариантов, единственный знак, который делает равенство верным, — это знак умножения ($ * $).

Таким образом, в кружке должен быть знак, который соответствует операции умножения.