1) Когда произведение может быть равно множителю? Когда оно может быть меньше одного из множителей?
2) Может ли сумма двух чисел быть меньше одного из слагаемых?
3) Может ли разность быть больше уменьшаемого?

Для решения каждой из перечисленных задач важно рассмотреть теоретические аспекты арифметических операций и их свойства. Давайте разберем каждую ситуацию отдельно.

1. Когда произведение может быть равно множителю? Когда оно может быть меньше одного из множителей?

Произведение двух чисел — это результат умножения двух чисел. Если обозначить множители через $a$ и $b$, то произведение $a \times b$ определяется следующим образом:

• Произведение равно множителю: Это возможно в случае, если один из множителей равен единице. Почему? Потому что при умножении на 1 число не изменяется:
  $$ a \times 1 = a \quad \text{или} \quad 1 \times b = b $$

• Произведение меньше одного из множителей: Это происходит, если второй множитель меньше единицы. Например, если $b$ находится в пределах от 0 до 1 ($0 < b < 1$), то $a \times b$ будет меньше $a$. Это объясняется тем, что умножение на дробное число "уменьшает" значение:
  $$ a \times b < a, \quad \text{если } 0 < b < 1 $$
  Аналогично, если $a$ меньше 1, то результат $b \times a$ будет меньше $b$.

Дополнительно: Если один из множителей равен нулю, то произведение всегда равно нулю, независимо от второго множителя:
$$ a \times 0 = 0 \quad \text{или} \quad 0 \times b = 0 $$

2. Может ли сумма двух чисел быть меньше одного из слагаемых?

Сумма двух чисел — это результат сложения этих чисел. Если обозначить два числа через $a$ и $b$, то сумма $a + b$ определяется следующим образом:

• Сумма меньше одного из слагаемых: Это возможно только в особом случае, когда одно из чисел отрицательное. Например: $$ a + b < a, \quad \text{если } b < 0 $$ Здесь $b < 0$ (отрицательное число) "уменьшает" значение $a$.

Пример: Если $a = 5$ и $b = -2$, то $a + b = 5 + (-2) = 3$. В этом случае сумма $3$ меньше одного из слагаемых ($5$).

Важно: В рамках программы 3−го класса обычно рассматриваются только положительные числа. Поэтому, если оба числа положительные ($a > 0$ и $b > 0$), то сумма всегда будет больше каждого из слагаемых.

3. Может ли разность быть больше уменьшаемого?

Разность двух чисел — это результат вычитания одного числа из другого. Если обозначить уменьшаемое через $a$ и вычитаемое через $b$, то разность $a - b$ определяется следующим образом:

• Разность больше уменьшаемого: Это невозможно, так как математическое действие вычитания "уменьшает" значение уменьшаемого. Разность может быть равна самому уменьшаемому (если $b = 0$) или меньше его. Формально: $$ a - b \leq a $$ Если $b > 0$, то результат $a - b$ всегда меньше $a$.

Пример: Если $a = 10$ и $b = 3$, то $a - b = 10 - 3 = 7$. Здесь разность ($7$) меньше уменьшаемого ($10$).

Особый случай: Для разности быть больше уменьшаемого необходимо, чтобы вычитаемое было отрицательным ($b < 0$). Например:
$$ a - b > a, \quad \text{если } b < 0 $$
Пример: Если $a = 5$ и $b = -3$, то $a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Здесь разность ($8$) больше уменьшаемого ($5$).

Эти теоретические знания помогут ученику правильно рассуждать при решении задач, связанных с арифметическими действиями.