Катя, Рита и Даша заняли три первых места на конкурсе чтецов. На вопрос, кто какое место занял, руководитель кружка ответил так: "Догадайтесь сами, если каждый из моих ответов неверный:"
Даша − первое;
Рита − второе;
Катя − первое или третье."

Для решения задачи важно понять, что каждый из утверждений руководителя кружка является неверным. Это ключевой момент, который нужно использовать для определения правильного распределения мест среди Кати, Риты и Даши.

1. Формализация утверждений Руководитель дал три утверждения:
   • Даша заняла первое место.
   • Рита заняла второе место.
   • Катя заняла первое или третье место.

Мы знаем, что каждое из этих утверждений неверно. Это означает:
− Даша не заняла первое место.
− Рита не заняла второе место.
− Катя не заняла ни первое, ни третье место.

1. Анализ условий Поскольку в задаче три человека — Катя, Рита и Даша — и три места (первое, второе и третье), каждая из девочек заняла одно уникальное место. Это свойство называется взаимно−однозначным соответствием, где каждому участнику однозначно соответствует одно место, и наоборот.

Теперь разберем каждое утверждение отдельно, чтобы сделать выводы.

• Даша не заняла первое место.
  Это означает, что Даша могла занять только второе или третье место.

• Рита не заняла второе место.
  Это означает, что Рита могла занять только первое или третье место.

• Катя не заняла ни первое, ни третье место.
  Это означает, что Катя могла занять только второе место.

1. Установление связей между местами и участниками
   Используя выводы из предыдущего пункта:

   • Катя заняла второе место (это единственный оставшийся вариант для нее).
   • Если Катя заняла второе место, это исключает возможность для Даши быть на втором месте. Значит, Даша заняла третье место.
   • Если Даша заняла третье место и Катя заняла второе место, Рите остается только первое место, так как другого свободного места нет.

2. Проверка условия задачи
   После того как предположения будут сделаны, важно проверить, соответствуют ли результаты главному условию задачи: "каждое из утверждений руководителя кружка должно быть неверным."

   • Утверждение "Даша — первое" неверно, потому что Даша заняла третье место.
   • Утверждение "Рита — второе" неверно, потому что Рита заняла первое место.
   • Утверждение "Катя — первое или третье" неверно, потому что Катя заняла второе место (ни первое, ни третье).

Таким образом, все условия задачи будут выполнены, если мы правильно распределим места девочек.