15 O 9 O 7 = 13
20 O 3 O 6 = 17
54 O 5 O 4 = 45
42 O 6 O 6 = 30
37 O 8 O 5 = 40
28 O 7 O 6 = 29

Для решения данной задачи необходимо внимательно проанализировать последовательности чисел и символов в каждой строке. Перед тем как приступить к вычислениям, важно понять, какой именно математический принцип или операция скрываются за символом "O". Эта задача относится к категории логико−арифметических головоломок, где необходимо выявить закономерность или правило, которое управляет вычислениями.

Основы для анализа и поиска решения:

1. Изучение структуры выражений:
   Каждое выражение имеет следующую структуру:
   
Число1 O Число2 O Число3 = Результат

   Здесь:

   • "Число1", "Число2" и "Число3" — это известные числа, расположенные слева от знака равно.
   • "O" — это неизвестная операция или последовательность операций, которые нужно определить.
   • "Результат" — это итоговое значение после применения операций.

2. Основные шаги анализа:

   • Рассмотреть первую строку (15 O 9 O 7 = 13) для выявления возможной логики.
   • Проверить, сохраняется ли выявленная закономерность на других строках.
   • Если закономерность нарушается, уточнить предполагаемую операцию и продолжить анализ.

3. Классификация возможных операций:
   Символ "O" может означать:

   • Стандартные арифметические операции: сложение (+), вычитание (−), умножение (*), деление (/).
   • Комбинацию нескольких арифметических операций, например: сложение двух чисел с последующим вычитанием третьего.
   • Применение специальных математических функций, например, взятие остатка от деления (mod), округления или нахождения среднего арифметического.
   • Использование последовательности действий, где порядок операций играет ключевую роль.

4. Анализ порядка операций:
   В математике операции выполняются в определенном порядке (правило приоритета операций):

   • Сначала выполняются действия в скобках.
   • Затем — умножение и деление, слева направо.
   • Потом — сложение и вычитание, слева направо. В данной задаче порядок операций может быть изменен в зависимости от скрытого правила.

5. Сравнение результатов:
   После определения возможного правила, необходимо проверить справедливость вычислений для всех строк. Если правило не выполняется хотя бы в одной из строк, следует его пересмотреть.

6. Работа с числами:

   • Внимательное изучение чисел может помочь выявить связи. Например, числа могут быть связаны через конкретные множители, разности, суммы и т. д.
   • Проверка на наличие постоянной добавки или множителя.

7. Проверка гипотез:
   Для каждой строки можно последовательно подставлять различные операции, проверяя, приводит ли это к указанному результату. Например:

   • Если "O" означает сложение (+), то проверяем, подходит ли такой принцип для всех строк.
   • Если "O" представляет собой вычитание (−), аналогично проверяем этот вариант.
   • Анализируем сложные комбинации операций, например: (Число1 + Число2) − Число3, и так далее.

8. Проверка на неочевидные закономерности:
   В данной задаче может быть скрыта нестандартная логика, например:

   • Использование чисел как индексов для некоторого алгоритма.
   • Применение специфических правил округления, деления или взятия остатков.
   • Подразумеваемая симметрия или связь между числами внутри одной строки.

9. Работа методом исключения:
   Если предложенное правило не работает, можно последовательно исключать неподходящие гипотезы и проверять другие. Часто сложные задачи решаются именно через такой пошаговый анализ.

10. Конечная проверка:
    После того как правило установлено, важно подставить его во все строки задачи, чтобы убедиться, что оно работает корректно для каждого случая.

Резюмируя, для решения задачи необходимо:
1. Понять суть символа "O".
2. Перебрать возможные математические операции и их комбинации.
3. Проверить выявленное правило на всех строках задачи.