$\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-<!--\; -\; -->\sqrt{2+\sqrt{2}})}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2^2-<!--\; -\; -->(\sqrt{2+\sqrt{2}}{)}^2}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{4-<!--\; -\; -->(2+\sqrt{2})}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{4-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2+\sqrt{2}}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-<!--\; -\; -->\sqrt{2})}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2^2-<!--\; -\; -->(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{4-<!--\; -\; -->2}=\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}=(\sqrt{2}{)}^2=2$