Пусть:
a = 2n
b = 2m + 1
Тогда:
1)
$\frac{8b}{5a} = \frac{8(2m + 1)}{5 * 2n} = \frac{16m + 8}{10n} = \frac{2 * (8m + 4)}{2 * 5n} = \frac{8m + 4}{5n}$
при m = 2 и n = 2:
$\frac{8 * 2 + 4}{5 * 2} = \frac{20}{10} = 2$ − число натуральное.
2)
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(2n)^2}{(2m + 1)^2} = \frac{4n^2}{4m^2 + 4m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{4 * 1^2}{4 * 0^2 + 4 * 0 + 1} = \frac{4}{1} = 4$ − число натуральное.
3)
$\frac{4a}{b} = \frac{4 * 2n}{2m + 1} = \frac{8n}{2m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$\frac{8 * 1}{2 * 0 + 1} = \frac{8}{1} = 8$ − число натуральное.
4)
$\frac{b^2}{a} = \frac{(2m + 1)^2}{2n} = \frac{4m^2 + 4m + 1}{2n} = \frac{4m^2}{2n} + \frac{4m}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{2m^2}{n} + \frac{2m}{n} + \frac{1}{2n}$ − так как при любых значениях m и n число $\frac{1}{2n}$ всегда будет не натуральным, значит и сумма $\frac{2m^2}{n} + \frac{2m}{n} + \frac{1}{2n}$ всегда будет числом не натуральным. Следовательно значение $\frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: 4) $\frac{b^2}{a}$