$a^2(b+c)=b^2(c+a)$
$a^2(b+c)-<!--\; -\; -->b^2(c+a)=0$
$a^{2}b+a^{2}c-<!--\; -\; -->b^{2}c-<!--\; -\; -->b^{2}a=0$
$(a^{2}c-<!--\; -\; -->b^{2}c)+(a^{2}b-<!--\; -\; -->b^{2}a)=0$
$c(a^2-<!--\; -\; -->b^2)+ab(a-<!--\; -\; -->b)=0$
c(a − b)(a + b) + ab(a − b) = 0
(a − b)(c(a + b) + ab) = 0
(a − b)(ac + bc + ab) = 0
так как по условию числа a и b различны, значит a − b ≠ 0, тогда:
ac + bc + ab = 0
Преобразуем равенство, которое нужно доказать:
$a^2(b+c)=c^2(a+b)$
$a^2(b+c)-<!--\; -\; -->c^2(a+b)=0$
$a^{2}b+a^{2}c-<!--\; -\; -->a{c}^2-<!--\; -\; -->b{c}^2=0$
$(a^{2}b-<!--\; -\; -->b{c}^2)+(a^{2}c-<!--\; -\; -->a{c}^2)=0$
$b(a^2-<!--\; -\; -->c^2)+ac(a-<!--\; -\; -->c)=0$
$b(a-<!--\; -\; -->c)(a+c)+ac(a-<!--\; -\; -->c)=0$
(a − c)(b(a + c) + ac) = 0
(a − c)(ab + bc + ac) = 0
так как по условию числа a и c различны, значит a − c ≠ 0, тогда:
ab + bc + ac = 0
получили
ab + bc + ac = ab + bc + ac = 0
Утверждение доказано.