$a^2(b + c) = b^2(c + a)$
$a^2(b + c) - b^2(c + a) = 0$
$a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$
$(a^2c - b^2c) + (a^2b - b^2a) = 0$
$c(a^2 - b^2) + ab(a - b) = 0$
c(a − b)(a + b) + ab(a − b) = 0
(a − b)(c(a + b) + ab) = 0
(a − b)(ac + bc + ab) = 0
так как по условию числа a и b различны, значит a − b ≠ 0, тогда:
ac + bc + ab = 0
Преобразуем равенство, которое нужно доказать:
$a^2(b + c) = c^2(a + b)$
$a^2(b + c) - c^2(a + b) = 0$
$a^2b + a^2c - ac^2 - bc^2 = 0$
$(a^2b - bc^2) + (a^2c - ac^2) = 0$
$b(a^2 - c^2) + ac(a - c) = 0$
$b(a - c)(a + c) + ac(a - c) = 0$
(a − c)(b(a + c) + ac) = 0
(a − c)(ab + bc + ac) = 0
так как по условию числа a и c различны, значит a − c ≠ 0, тогда:
ab + bc + ac = 0
получили
ab + bc + ac = ab + bc + ac = 0
Утверждение доказано.