$(x+\frac{x}{y}):(x-<!--\; -\; -->\frac{x}{y})=\frac{xy+x}{y}:\frac{xy-<!--\; -\; -->x}{y}=\frac{x(y+1)}{y}:\frac{x(y-<!--\; -\; -->1)}{y}=\frac{x(y+1)}{y}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{y}{x(y-<!--\; -\; -->1)}=\frac{y+1}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{y-<!--\; -\; -->1}=\frac{y+1}{y-<!--\; -\; -->1}$

$(\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a-<!--\; -\; -->b})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}=\frac{a(a-<!--\; -\; -->b)+b(a+b)}{b(a-<!--\; -\; -->b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->ab+ab+b^2}{b(a-<!--\; -\; -->b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{b(a-<!--\; -\; -->b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}=\frac{1}{a-<!--\; -\; -->b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{ab}{1}=\frac{ab}{a-<!--\; -\; -->b}$

$(\frac{m}{m-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1):\frac{m}{mn-<!--\; -\; -->n}=\frac{m-<!--\; -\; -->(m-<!--\; -\; -->1)}{m-<!--\; -\; -->1}:\frac{m}{n(m-<!--\; -\; -->1)}=\frac{m-<!--\; -\; -->m+1}{m-<!--\; -\; -->1}:\frac{m}{n(m-<!--\; -\; -->1)}=\frac{1}{m-<!--\; -\; -->1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{n(m-<!--\; -\; -->1)}{m}=\frac{1}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{n}{m}=\frac{n}{m}$

$(\frac{a}{b}-<!--\; -\; -->\frac{b}{a})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4ab}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{a\ast <!--\; \ast \; -->a-<!--\; -\; -->b\ast <!--\; \ast \; -->b}{ab}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4ab}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->b^2}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{(a-<!--\; -\; -->b)(a+b)}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{a+b}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4}{1}=4(a+b)$

$\frac{a}{b}-<!--\; -\; -->\frac{a^2-<!--\; -\; -->b^2}{b^2}:\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}-<!--\; -\; -->\frac{(a-<!--\; -\; -->b)(a+b)}{b^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b}{a+b}=\frac{a}{b}-<!--\; -\; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{1}=\frac{a-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->b)}{b}=\frac{a-<!--\; -\; -->a+b}{b}=\frac{b}{b}=1$

$\frac{7x}{x+2}-<!--\; -\; -->\frac{x-<!--\; -\; -->8}{3x+6}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{84}{x^2-<!--\; -\; -->8x}=\frac{7x}{x+2}-<!--\; -\; -->\frac{x-<!--\; -\; -->8}{3(x+2)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{84}{x(x-<!--\; -\; -->8)}=\frac{7x}{x+2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{x+2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{28}{x}=\frac{7x}{x+2}-<!--\; -\; -->\frac{28}{x(x+2)}=\frac{7x\ast <!--\; \ast \; -->x-<!--\; -\; -->28}{x(x+2)}=\frac{7x^2-<!--\; -\; -->28}{x(x+2)}=\frac{7(x^2-<!--\; -\; -->4)}{x(x+2)}=\frac{7(x-<!--\; -\; -->2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{7(x-<!--\; -\; -->2)}{x}$

$(a-<!--\; -\; -->\frac{9a-<!--\; -\; -->9}{a+3}):\frac{a^2-<!--\; -\; -->3a}{a+3}=\frac{a(a+3)-<!--\; -\; -->(9a-<!--\; -\; -->9)}{a+3}:\frac{a(a-<!--\; -\; -->3)}{a+3}=\frac{a^2+3a-<!--\; -\; -->9a+9}{a+3}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a+3}{a(a-<!--\; -\; -->3)}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->6a+9}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{a(a-<!--\; -\; -->3)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->3{)}^2}{a(a-<!--\; -\; -->3)}=\frac{a-<!--\; -\; -->3}{a}$

$(\frac{a}{a+2}-<!--\; -\; -->\frac{8}{a+8})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a^2+8a}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{a(a+8)-<!--\; -\; -->8(a+2)}{(a+2)(a+8)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a(a+8)}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{a^2+8a-<!--\; -\; -->8a-<!--\; -\; -->16}{a+2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->16}{a+2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{(a-<!--\; -\; -->4)(a+4)}{a+2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{a+4}{a+2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{1}=\frac{a(a+4)}{a+2}$