$x^2+ (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (5a - 1)^2 - 4 * 1 * (4a^2 - a) = 25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2 > 0$
если D = 0, то:
3a − 1 = 0
3a = 1
$a = \frac{1}{3}$
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-5a + 1}{2} = \frac{2(-2,5a + 0,5)}{2} = -2,5a + 0,5 = -2,5 * \frac{1}{3} + 0,5 = -2\frac{1}{2} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
если D > 0, то:
3a − 1 > 0
3a > 1
$a > \frac{1}{3}$
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 + 3a - 1}{2 * 1} = \frac{-2a}{2} = -a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 - (3a - 1)}{2 * 1} = \frac{-5a + 1 - 3a + 1}{2 * 1} = \frac{-8a + 2}{2} = \frac{2(-4a + 1)}{2} = -4a + 1$
если D < 0, то:
3a − 1 < 0
3a < 1
$a < \frac{1}{3}$
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если $a = \frac{1}{3}$, то: $x = -\frac{1}{3}$;
если $a > \frac{1}{3}$, то: $x_1 = -a$ и $x_2 = -4a + 1$;
если $a < \frac{1}{3}$, то: нет корней.

$x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (2a + 3)^2 - 4 * 1 * 6a = 4a^2 + 12a + 9 - 24a = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 > 0$
если D = 0, то:
2a − 3 = 0
2a = 3
a = 1,5
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a + 3}{2} = \frac{2(a + 1,5)}{2} = a + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3$
если D > 0, то:
2a − 3 > 0
2a > 3
a > 1,5
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 + 2a - 3}{2 * 1} = \frac{4a}{2} = 2a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 - (2a - 3)}{2 * 1} = \frac{2a + 3 - 2a + 3}{2 * 1} = \frac{6}{2} = 3$
если D < 0, то:
2a − 3 < 0
2a < 3
a < 1,5
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 1,5, то: x = 3;
если a > 1,5, то: $x_1 = 2a$ и $x_2 = 3$;
если a < 1,5, то: нет корней.

$a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10a)^2 - 4 * a^2 * 16 = 100a^2 - 64a^2 = 36a^2 > 0$
если D = 0, то:
$36a^2 = 0$
$a^2 = 0$
a = 0
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a + \sqrt{0}}{2 * a^2}$ − нет корней, так как при a = 0, знаменатель равен 0, что невозможно.
если D > 0, то:
$36a^2 > 0$
$a^2 > 0$
a > 0
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a + \sqrt{36a^2}}{2 * a^2} = \frac{10a + 6a}{2a^2} = \frac{16a}{2a^2} = \frac{8}{a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a - \sqrt{36a^2}}{2 * a^2} = \frac{10a - 6a}{2a^2} = \frac{4a}{2a^2} = \frac{2}{a}$
если D < 0, то:
$36a^2 < 0$
$a^2 < 0$
a < 0
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 0, то: нет корней;
если a > 0, то: $x_1 = \frac{8}{a}$ и $x_2 = \frac{2}{a}$;
если a < 0, то: нет корней.