$x^2+(5a-<!--\; -\; -->1)x+4a^2-<!--\; -\; -->a=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(5a-<!--\; -\; -->1{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(4a^2-<!--\; -\; -->a)=25a^2-<!--\; -\; -->10a+1-<!--\; -\; -->16a^2+4a=9a^2-<!--\; -\; -->6a+1=(3a-<!--\; -\; -->1{)}^2>0$
если D = 0, то:
3a − 1 = 0
3a = 1
$a=\frac{1}{3}$
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->5a+1+\sqrt{0}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->5a+1}{2}=\frac{2(-<!--\; -\; -->2,5a+0,5)}{2}=-<!--\; -\; -->2,5a+0,5=-<!--\; -\; -->2,5\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{3}+0,5=-<!--\; -\; -->2\frac{1}{2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=-<!--\; -\; -->\frac{5}{2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=-<!--\; -\; -->\frac{5}{6}+\frac{3}{6}=-<!--\; -\; -->\frac{2}{6}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}$
если D > 0, то:
3a − 1 > 0
3a > 1
$a>\frac{1}{3}$
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->5a+1+3a-<!--\; -\; -->1}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2a}{2}=-<!--\; -\; -->a$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->5a+1-<!--\; -\; -->(3a-<!--\; -\; -->1)}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->5a+1-<!--\; -\; -->3a+1}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->8a+2}{2}=\frac{2(-<!--\; -\; -->4a+1)}{2}=-<!--\; -\; -->4a+1$
если D < 0, то:
3a − 1 < 0
3a < 1
$a<\frac{1}{3}$
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если $a=\frac{1}{3}$, то: $x=-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}$;
если $a>\frac{1}{3}$, то: $x_1=-<!--\; -\; -->a$ и $x_2=-<!--\; -\; -->4a+1$;
если $a<\frac{1}{3}$, то: нет корней.

$x^2-<!--\; -\; -->(2a+3)x+6a=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(2a+3{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->6a=4a^2+12a+9-<!--\; -\; -->24a=4a^2-<!--\; -\; -->12a+9=(2a-<!--\; -\; -->3{)}^2>0$
если D = 0, то:
2a − 3 = 0
2a = 3
a = 1,5
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+3+\sqrt{0}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{2a+3}{2}=\frac{2(a+1,5)}{2}=a+1,5=1,5+1,5=3$
если D > 0, то:
2a − 3 > 0
2a > 3
a > 1,5
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+3+2a-<!--\; -\; -->3}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{4a}{2}=2a$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{2a+3-<!--\; -\; -->(2a-<!--\; -\; -->3)}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{2a+3-<!--\; -\; -->2a+3}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{6}{2}=3$
если D < 0, то:
2a − 3 < 0
2a < 3
a < 1,5
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 1,5, то: x = 3;
если a > 1,5, то: $x_1=2a$ и $x_2=3$;
если a < 1,5, то: нет корней.

$a^2{x}^2-<!--\; -\; -->10ax+16=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->10a{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->a^2\ast <!--\; \ast \; -->16=100a^2-<!--\; -\; -->64a^2=36a^2>0$
если D = 0, то:
$36a^2=0$
$a^2=0$
a = 0
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{10a+\sqrt{0}}{2\ast <!--\; \ast \; -->a^2}$ − нет корней, так как при a = 0, знаменатель равен 0, что невозможно.
если D > 0, то:
$36a^2>0$
$a^2>0$
a > 0
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{10a+\sqrt{36a^2}}{2\ast <!--\; \ast \; -->a^2}=\frac{10a+6a}{2a^2}=\frac{16a}{2a^2}=\frac{8}{a}$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{10a-<!--\; -\; -->\sqrt{36a^2}}{2\ast <!--\; \ast \; -->a^2}=\frac{10a-<!--\; -\; -->6a}{2a^2}=\frac{4a}{2a^2}=\frac{2}{a}$
если D < 0, то:
$36a^2<0$
$a^2<0$
a < 0
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 0, то: нет корней;
если a > 0, то: $x_1=\frac{8}{a}$ и $x_2=\frac{2}{a}$;
если a < 0, то: нет корней.