Докажите, что:
а)

9 a + \frac{1}{a} \geq 6

при a > 0;
б)

25 b + \frac{1}{b} \leq - 10

при b < 0.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 30. Сложение и умножение числовых неравенств. Номер №781

Способ 1.

9 a + \frac{1}{a} = \frac{9 a^{2} + 1}{a} = \frac{9 a^{2} - 6 a + 1}{a} + \frac{6 a}{a} = \frac{(3 a - 1)^{2}}{a} + 6

{\begin{cases} (3 a - 1)^{2} \geq 0 \\ a > 0 \end{cases}

\frac{(3 a - 1)^{2}}{a} \geq 0

\frac{(3 a - 1)^{2}}{a} + 6 \geq 6

Неравенство доказано.

Способ 2.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

для двух положительных чисел;

\frac{a + b}{2} \leq - \sqrt{a b}

для двух отрицательных чисел.

\frac{9 a + \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{9 a * \frac{1}{a}}

\frac{9 a + \frac{1}{a}}{2} \geq 3

9 a + \frac{1}{a} \geq 6

Неравенство доказано.

Способ 1.

25 b + \frac{1}{b} = \frac{25 b^{2} + 1}{b} = \frac{25 b^{2} + 10 b + 1}{b} - \frac{10 b}{b} = \frac{(5 b + 1)^{2}}{b} - 10

{\begin{cases} (5 b + 1)^{2} \geq 0 \\ b < 0 \end{cases}

\frac{(5 b + 1)^{2}}{b} < 0

\frac{(5 b + 1)^{2}}{b} - 10 \leq - 10

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

для двух положительных чисел;

\frac{a + b}{2} \leq - \sqrt{a b}

для двух отрицательных чисел.

\frac{25 b + \frac{1}{b}}{2} \leq - \sqrt{25 b * \frac{1}{b}}

\frac{25 b + \frac{1}{b}}{2} \leq - 5

25 b + \frac{1}{b} \leq - 10

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова