Способ 1.
$9a + \frac{1}{a} = \frac{9a^2 + 1}{a} = \frac{9a^2 - 6a + 1}{a} + \frac{6a}{a} = \frac{(3a - 1)^2}{a} + 6$
$\begin{equation*} \begin{cases} (3a - 1)^2 ≥ 0 &\\ a > 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\frac{(3a - 1)^2}{a} ≥ 0$
$\frac{(3a - 1)^2}{a} + 6 ≥ 6$
Неравенство доказано.
 
Способ 2.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:
$\frac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}$ для двух положительных чисел;
$\frac{a + b}{2} ≤ -\sqrt{ab}$ для двух отрицательных чисел.
$\frac{9a + \frac{1}{a}}{2} ≥ \sqrt{9a * \frac{1}{a}}$
$\frac{9a + \frac{1}{a}}{2} ≥ 3$
$9a + \frac{1}{a} ≥ 6$
Неравенство доказано.

Способ 1.
$25b + \frac{1}{b} = \frac{25b^2 + 1}{b} = \frac{25b^2 + 10b + 1}{b} - \frac{10b}{b} = \frac{(5b + 1)^2}{b} - 10$
$\begin{equation*} \begin{cases} (5b + 1)^2 ≥ 0 &\\ b < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\frac{(5b + 1)^2}{b} < 0$
$\frac{(5b + 1)^2}{b} - 10 ≤ -10$
Неравенство доказано.
 
Способ 2.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:
$\frac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}$ для двух положительных чисел;
$\frac{a + b}{2} ≤ -\sqrt{ab}$ для двух отрицательных чисел.
$\frac{25b + \frac{1}{b}}{2} ≤ -\sqrt{25b * \frac{1}{b}}$
$\frac{25b + \frac{1}{b}}{2} ≤ -5$
$25b + \frac{1}{b} ≤ -10$
Неравенство доказано.