(Задача−исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.
2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырехугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните $2m_b$ с суммой BC + AB ($m_b$ − медиана BO).
4) Составьте аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму $m_a + m_b + m_c$.
Согласно построению:
BO = OD
AO = OC, то есть диагонали четырехугольника ABCD делятся в точке пересечения пополам. Значит, ABCD − параллелограмм.
Неравенство треугольника для ABD:
BD < AB + AD = AB + BC
Обозначим:
$BD = 2m_b$,
AB = c,
BC = a.
Тогда:
$2m_b = a + c$
$m_b = \frac{a + c}{2}$
Длина медианы, опущенной из вершины B меньше полусуммы прилегающих к этой вершине сторон.
Аналогично для остальных медиан можем записать:
$m_a = \frac{b + c}{2}$
$m_c = \frac{a + b}{2}$
Сумма полученных трех неравенств:
$m_a + m_b + m_c < \frac{b + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + b}{2}$
$m_a + m_b + m_c < a + b + c$
$m_a + m_b + m_c < P$
Сумма медиан меньше периметра треугольника.
Теперь найдем нижнюю границу суммы медиан.
Рассмотрим треугольники ABO и BOC. Для них неравенство треугольника имеет вид:
BO + AO > AB;
BO + OC > BC.
Обозначим:
$BO = m_b$,
$AO = OC = \frac{b}{2}$,
AB = c,
BC = a.
Сумма двух неравенств дает:
$2m_b + b > a + c$
$2m_b > a + c - b$
$m_b > \frac{a + c - b}{2}$
Аналогично для остальных медиан:
$m_a > \frac{b + c - a}{2}$;
$m_c > \frac{a + b - c}{2}$.
Их сумма:
$m_a + m_b + m_c > \frac{b + c - a}{2} + \frac{a + c - b}{2} + \frac{a + b - c}{2}$
$m_a + m_b + m_c > \frac{a + b + c}{2}$
$m_a + m_b + m_c > \frac{P}{2}$
Сумма медиан больше полупериметра треугольника.
Таким образом, верхняя и нижняя оценка суммы медиан треугольника определяется его периметром:
$\frac{P}{2} < m_a + m_b + m_c < P$
Пожауйста, оцените решение
