![Решение рисунок 1](/uploads/book/task/24/task/813/otv.png)
Согласно построению:
BO = OD
AO = OC, то есть диагонали четырехугольника ABCD делятся в точке пересечения пополам. Значит, ABCD − параллелограмм.
Неравенство треугольника для ABD:
BD < AB + AD = AB + BC
Обозначим:
,
AB = c,
BC = a.
Тогда:
Длина медианы, опущенной из вершины
B меньше полусуммы прилегающих к этой вершине сторон.
Аналогично для остальных медиан можем записать:
Сумма полученных трех неравенств:
Сумма медиан меньше периметра треугольника.
Теперь найдем нижнюю границу суммы медиан.
Рассмотрим треугольники
ABO и
BOC. Для них неравенство треугольника имеет вид:
BO + AO > AB;
BO + OC > BC.
Обозначим:
,
,
AB = c,
BC = a.
Сумма двух неравенств дает:
Аналогично для остальных медиан:
;
.
Их сумма:
Сумма медиан больше полупериметра треугольника.
Таким образом, верхняя и нижняя оценка суммы медиан треугольника определяется его периметром: