(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство:
а) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc;
б) $\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} ≥ abc$.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто − неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Для среднего арифметического и среднего геометрического справедливо соотношение:
$\frac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}$
а)
$(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 2\sqrt{ab} * 2\sqrt{bc} * 2\sqrt{ac} = 8abc$, то есть:
$(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc$
б)
$\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} = \frac{a + 1}{2} * \frac{b + 1}{2} * \frac{a + c}{2} * \frac{b + c}{2} ≥ \sqrt{a} * \sqrt{b} * \sqrt{ac} * \sqrt{bc} = abc$, то есть:
$\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} ≥ abc$
Неравенства доказаны.
Пожауйста, оцените решение
