(Задача−исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения
$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1}$ является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении
n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразование и дайте ответ на вопрос задачи.
Пусть n = 5
Тогда:
$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} = \sqrt{5 * 6 * 7 * 8 + 1} = \sqrt{1681} = 41$
Введем новую переменную
$t = n + \frac{3}{2}$
Тогда:
$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} = \sqrt{(t - \frac{3}{2})(t - \frac{1}{2})(t + \frac{1}{2})(t + \frac{3}{2}) + 1} = \sqrt{(t^2 - \frac{9}{4})(t^2 - \frac{1}{4}) + 1} = \sqrt{t^4 - \frac{10}{4}t^2 + \frac{9}{16} + 1} = \sqrt{t^4 - \frac{5}{2}t^2 + \frac{25}{16}} = \sqrt{(t^2)^2 - 2 * \frac{5}{4}t^2 + (\frac{5}{4})^2} = \sqrt{(t^2 - \frac{5}{4})^2} = |t^2 - \frac{5}{4}| = |(n + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}| = |n^2 + 3n + \frac{9}{4} - \frac{5}{4}| = n^2 + 3n + 1$ ∈ N
Таким образом, значение корня $n^2 + 3n + 1$ является натуральным числом ∀n ∈ N.
Пожауйста, оцените решение
