Главная

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №488

(Задача−исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1
является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении
n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразование и дайте ответ на вопрос задачи.

Решение

Пусть n = 5
Тогда:
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1 = 5 6 7 8 + 1 = 1681 = 41

Введем новую переменную
t = n + 3 2

Тогда:
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1 = ( t 3 2 ) ( t 1 2 ) ( t + 1 2 ) ( t + 3 2 ) + 1 = ( t 2 9 4 ) ( t 2 1 4 ) + 1 = t 4 10 4 t 2 + 9 16 + 1 = t 4 5 2 t 2 + 25 16 = ( t 2 ) 2 2 5 4 t 2 + ( 5 4 ) 2 = ( t 2 5 4 ) 2 = | t 2 5 4 | = | ( n + 3 2 ) 2 5 4 | = | n 2 + 3 n + 9 4 5 4 | = n 2 + 3 n + 1
∈ N
Таким образом, значение корня
n 2 + 3 n + 1
является натуральным числом ∀n ∈ N.