Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №361

Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции
$y = \sqrt{x}$
?
1) y = −x + 2;
2) y = −x + 0,1;
3) y = −x;
4) y = −x − 0,1.

Решение

Рассмотрим возможные пересечения графиков y = −x + b и
$y = \sqrt{x}$

$\sqrt{x} = -x + b$

$x = (-x + b)^2 = (x - b)^2$

$x = x^2 - 2bx + b^2$

$x^2 - (2b + 1)x + b^2 = 0$

$D = (2b + 1)^2 - 4b^2 = 4b + 1 ≥ 0$

Необходимое условие для существования точки пересечения
$b ≥ -\frac{1}{4}$

Корни
$x = \frac{2b + 1 ± \sqrt{4b + 1}}{2}$

Сравним 2b + 1 и
$\sqrt{4b + 1}$

$(2b + 1)^2$
и 4b + 1
$(2b + 1)^2 > 4b + 1$

$4b^2 + 4b + 1 > 4b + 1$

Итак, оба x ≥ 0
Теперь проверим выполнение условия −x + b ≥ 0
$-x + b = -\frac{2b + 1 ± \sqrt{4b + 1}}{2} + b = -b + b - \frac{1 ± \sqrt{4b + 1}}{2} = -\frac{1 ± \sqrt{4b + 1}}{2} ≥ 0$

$\frac{1 ± \sqrt{4b + 1}}{2} ≤ 0$

$1 ± \sqrt{4b + 1} ≤ 0$

$1 ± \sqrt{4b + 1} ≥ 1$
, ∀
$b ≥ -\frac{1}{4}$
. Значит, отрицательным может быть только
$1 - \sqrt{4b + 1} ≤ 0$
, что соответствует
$x = \frac{2b + 1 - \sqrt{4b + 1}}{2}$

Исследуем
$1 - \sqrt{4b + 1} ≤ 0$

$\sqrt{4b + 1} ≥ 1$

4b + 11
b ≥ 0
Это требование более сильное, чем
$b ≥ -\frac{1}{4}$
.
Вывод:
Прямые вида y = −x + b могут либо не пересекать
$y = \sqrt{x}$
(если b < 0), либо пересекать в одной точке (если b ≥ 0)
$x = \frac{2b + 1 - \sqrt{4b + 1}}{2}$

То же ограничение для b можно получить непосредственно из допустимых значений для x и y. Для x ≥ 0 точка пересечения на прямой y = −x + b ≥ 0.
Откуда сразу получаем условие b ≥ 0.
Из четырех заданных прямых прямая г) не пересекает
$y = \sqrt{x}$
, так как у нее b = −0,1 < 0.
Ответ: г