Представим данные рациональные числа в виде дробей с целыми числителями и натуральными знаменателями:
$a^2 = \frac{m}{n}$,
$b^2 = \frac{p}{q}$,
$a - b = \frac{r}{s}$.
m, p, r ∈ Z;
n, q, s ∈ N.
Выразим сумму a + b через эти дроби:
$a + b = \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}{\frac{r}{s}} = (\frac{mq - pn}{nq}) * \frac{s}{r} = \frac{(mq - pn)s}{nqr}$
Разность и произведение чисел также является целым числом. То есть, в числителе и знаменателе полученной дроби стоят целые числа.
Знаменатель не равен 0:
a ≠ b
r ≠ 0
nqr ≠ 0.
Если он отрицателен, то знак умножением на (−1) можно "перебросить" на числитель. Тогда знаменатель будет положительным целым числом, не равным 0, то есть натуральным числом.
Таким образом a + b − это дробь, у которой числитель − целое число, а знаменатель − натуральное. Значит a + b ∈ Q − является рациональным числом.