Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Другие варианты решения
Раздел:

Номер №252

Докажите, что если z является средним гармоническим положительных чисел a и b, причем a ≠ b, то верно равенство
$\frac{1}{z - a} + \frac{1}{z - b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
.

Решение

$z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$

$\frac{1}{z - a} + \frac{1}{z - b} = \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - b} = \frac{a + b}{2ab - a^3 - ab} + \frac{a + b}{2ab - ab - b^2} = (a + b)(\frac{1}{ab - a^2} + \frac{1}{ab - b^2}) = (a +b)(\frac{1}{a(b - a) - \frac{1}{b(b - a)}}) = (a + b)\frac{b - a}{ab(b - a)} = \frac{a + b}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
Другие варианты решения