Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №232

Докажите, что тождественно равны выражения
$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$
и
$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
.

Решение

$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{1}{x + y}(\frac{ax + by}{a - b} - \frac{bx - ay}{a + b}) = \frac{1}{x + y}(\frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{a^2 - b^2}) = \frac{1}{x + y}(\frac{a^2x + aby + abx + b^2y - (abx - a^2y - b^2x + aby)}{a^2 - b^2}) = \frac{1}{x + y}(\frac{a^2x + b^2y + a^2y + b^2x}{a^2 - b^2}) = \frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(x + y)(a^2 - b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$