На рисунке 176 изображён подъёмный кран. Рассчитайте, какой груз можно поднимать при помощи этого крана, если масса противовеса 1000 кг. Сделайте расчёт, пользуясь равенством моментов сил.
рис. 176
Дано:
$l_{1}$ = 7,2 м;
$l_{2}$ = 3 м;
g = 9,8 Н/кг;
$m_{2}$ = 1000 кг;
Найти:
$m_{1}$ − ?
Решение:
$F_{1}$ − сила тяжести, действующая на подъёмный кран;
$F_{2}$ − сила тяжести, действующая на груз.
$M_{1} = M_{2}$;
M = Fl;
F=gm;
$gm_{1}l_{1} =gm_{2}l_{2}$;
$m_{1} = \frac{m_{2}l_{2}}{l_{1}}$;
$m_{1} = \frac{1000 * 3}{7,2}$;
$m_{1}$ = 416,7 кг.
Ответ. 416,7 кг.
Для решения этой задачи важно понимать концепцию моментов сил и принцип равновесия рычага. Это теоретический подход, который используется для анализа ситуации с подъёмным краном.
Момент силы:
Момент силы — это физическая величина, характеризующая вращательное действие силы относительно точки или оси. Момент силы определяется как произведение силы на её плечо. Плечо силы — это расстояние от точки опоры (оси вращения) до линии действия силы, измеренное перпендикулярно этой линии.
Формула момента силы:
$$
M = F \cdot l
$$
где:
− $ M $ — момент силы,
− $ F $ — величина силы,
− $ l $ — плечо силы (перпендикулярное расстояние от точки опоры до линии действия силы).
Принцип равновесия рычага:
Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов сил, действующих в одном направлении, равна сумме моментов сил, действующих в противоположном направлении. Иными словами:
$$
M_1 = M_2
$$
где:
− $ M_1 $ — момент силы, действующей с одной стороны рычага,
− $ M_2 $ — момент силы, действующей с другой стороны рычага.
Если выражать равенство через силу и плечо:
$$
F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2
$$
где:
− $ F_1 $ — сила, действующая с одной стороны рычага,
− $ l_1 $ — плечо силы $ F_1 $,
− $ F_2 $ — сила, действующая с другой стороны рычага,
− $ l_2 $ — плечо силы $ F_2 $.
Применение принципа равновесия к ситуации с краном:
1. В данной задаче подъёмный кран можно рассматривать как рычаг с точкой опоры на оси его вращения.
2. С одной стороны рычага действует сила тяжести, вызванная подвешенным грузом $ F_{\text{груз}} = m_{\text{груз}} \cdot g $, а с другой стороны — сила тяжести, вызванная противовесом $ F_{\text{противовес}} = m_{\text{противовес}} \cdot g $.
3. $ l_{\text{груз}} $ — расстояние от точки опоры до груза, и $ l_{\text{противовес}} $ — расстояние от точки опоры до противовеса.
Равенство моментов:
Для равновесия крана:
$$
F_{\text{груз}} \cdot l_{\text{груз}} = F_{\text{противовес}} \cdot l_{\text{противовес}}
$$
Подставим выражения для сил через массы:
$$
m_{\text{груз}} \cdot g \cdot l_{\text{груз}} = m_{\text{противовес}} \cdot g \cdot l_{\text{противовес}}
$$
Фактор $ g $ (ускорение свободного падения, обычно принимаемое равным $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $) сокращается, так как он присутствует в обеих частях уравнения:
$$
m_{\text{груз}} \cdot l_{\text{груз}} = m_{\text{противовес}} \cdot l_{\text{противовес}}
$$
Из этого уравнения можно найти массу груза:
$$
m_{\text{груз}} = \frac{m_{\text{противовес}} \cdot l_{\text{противовес}}}{l_{\text{груз}}}
$$
Данные из задачи:
− $ m_{\text{противовес}} = 1000 \, \text{кг} $,
− $ l_{\text{противовес}} = 3 \, \text{м} $,
− $ l_{\text{груз}} = 7.2 \, \text{м} $.
Имея эти данные и используя приведённую теорию, можно подставить значения в формулу и найти массу груза.
Пожауйста, оцените решение
