Как зависит глубина погружения в жидкость плавающего тела от его плотности?

Для понимания зависимости глубины погружения тела в жидкость от его плотности нужно обратиться к закону Архимеда и основным принципам гидростатики.

1. Закон Архимеда:
   Когда тело погружается в жидкость, на него действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости. Математически это выражается как:
   $$ F_{\text{выт}} = \rho_{\text{ж}} \cdot g \cdot V_{\text{погруж}}, $$
   где:

   • $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости,
   • $g$ — ускорение свободного падения ($9.8 \, \text{м/с}^2$),
   • $V_{\text{погруж}}$ — объём части тела, находящейся в жидкости.

2. Вес тела:
   На тело также действует сила тяжести, которая равна его весу:
   $$ F_{\text{тяж}} = m \cdot g = \rho_{\text{т}} \cdot V_{\text{тела}} \cdot g, $$
   где:

   • $\rho_{\text{т}}$ — плотность тела,
   • $V_{\text{тела}}$ — полный объём тела (весь объём, а не только погружённая часть).

3. Условие равновесия:
   Если тело плавает на поверхности жидкости, оно находится в равновесии, и действующие на него силы уравновешиваются:
   $$ F_{\text{выт}} = F_{\text{тяж}}. $$
   Подставляя выражения для этих сил, получаем:
   $$ \rho_{\text{ж}} \cdot g \cdot V_{\text{погруж}} = \rho_{\text{т}} \cdot V_{\text{тела}} \cdot g. $$
   Заметим, что ускорение $g$ присутствует в обоих частях уравнения и сокращается:
   $$ \rho_{\text{ж}} \cdot V_{\text{погруж}} = \rho_{\text{т}} \cdot V_{\text{тела}}. $$

4. Доля погружённого объёма:
   Следующий шаг — выразить отношение $V_{\text{погруж}} / V_{\text{тела}}$, то есть долю объёма тела, которая находится под поверхностью жидкости. Это отношение показывает, насколько глубоко тело погружается в жидкость. Выражение примет вид:
   $$ \frac{V_{\text{погруж}}}{V_{\text{тела}}} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}. $$

5. Вывод зависимости:
   Зависимость глубины погружения от плотности тела ясно следует из последнего уравнения. Чем больше плотность тела $\rho_{\text{т}}$, тем больше доля его объёма оказывается погружённой в жидкость. Если плотность тела равна плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}}$), то тело полностью погрузится в жидкость, оставаясь в равновесии. Если плотность тела меньше плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}}$), то тело будет частично погружено. В случае, когда плотность тела больше плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}}$), тело утонет, так как выталкивающая сила не сможет компенсировать его вес.

Итак, глубина погружения тела в жидкость прямо пропорциональна его плотности. Это означает, что чем плотнее тело, тем большая его часть погружается в жидкость.