Предположив, что корона царя Гиерона в воздухе весит 20 Н, а в воде 18,75 Н, вычислите плотность вещества короны.
Полагая, что к золоту было подмешано только серебро, определите, сколько в короне было золота и сколько серебра.
При решении задачи плотнода.сть золота считайте равной 20 000 кг/$м^{3}$ , плотность серебра — 10 000 кг/$м^{3}$ . Каков был бы объём короны из чистого золота?

Для решения данной задачи нужно рассмотреть несколько ключевых физических концепций, включая закон Архимеда, плотность вещества и взаимосвязь массы, объема и плотности. Эти концепции помогут нам понять, как взаимодействуют масса, плотность и объем, а также как определить состав короны.

1. Закон Архимеда

Закон Архимеда утверждает, что на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости. В формуле это записывается как:

$$ F_{\text{выт}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot g \cdot V_{\text{тела}}, $$

где:
− $ F_{\text{выт}} $ — сила Архимеда (выталкивающая сила),
− $ \rho_{\text{жидкости}} $ — плотность жидкости,
− $ g $ — ускорение свободного падения (обычно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
− $ V_{\text{тела}} $ — объём тела, погружённого в жидкость.

Так как вода является жидкостью, её плотность $ \rho_{\text{вода}} $ можно считать равной $ 1000 \, \text{кг/м}^3 $.

2. Масса и вес тела

Вес тела ($ P $) и масса ($ m $) связаны через ускорение свободного падения ($ g $):

$$ P = m \cdot g. $$

Из этого соотношения можно выразить массу тела:

$$ m = \frac{P}{g}. $$

3. Плотность вещества

Плотность ($ \rho $) — это отношение массы ($ m $) тела к его объему ($ V $):

$$ \rho = \frac{m}{V}. $$

Таким образом, объём тела можно выразить как:

$$ V = \frac{m}{\rho}. $$

4. Взаимодействие тела с водой

Когда корона погружена в воду, её вес уменьшается. Это происходит из−за действия выталкивающей силы, которая равна весу вытесненной воды. Разница в весе короны в воздухе ($ P_{\text{воздух}} $) и в воде ($ P_{\text{вода}} $) равна силе Архимеда:

$$ F_{\text{выт}} = P_{\text{воздух}} - P_{\text{вода}}. $$

Подставляя выражение для силы Архимеда, мы можем найти объём короны ($ V_{\text{короны}} $):

$$ \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot V_{\text{короны}} = P_{\text{воздух}} - P_{\text{вода}}. $$

Решая это уравнение относительно $ V_{\text{короны}} $, получаем:

$$ V_{\text{короны}} = \frac{P_{\text{воздух}} - P_{\text{вода}}}{\rho_{\text{вода}} \cdot g}. $$

5. Определение плотности короны

Теперь, зная объём короны, мы можем определить её среднюю плотность ($ \rho_{\text{короны}} $):

$$ \rho_{\text{короны}} = \frac{m_{\text{короны}}}{V_{\text{короны}}}. $$

Массу короны можно найти через её вес в воздухе:

$$ m_{\text{короны}} = \frac{P_{\text{воздух}}}{g}. $$

6. Состав короны

Полагая, что корона состоит из двух материалов — золота и серебра — её плотность будет зависеть от соотношения их объёмов. Если корона имеет объём $ V_{\text{короны}} $, а объёмы золота и серебра в ней равны $ V_{\text{Au}} $ и $ V_{\text{Ag}} $, то:

$$ V_{\text{короны}} = V_{\text{Au}} + V_{\text{Ag}}. $$

И её масса:

$$ m_{\text{короны}} = m_{\text{Au}} + m_{\text{Ag}}. $$

Массы золота и серебра выражаются через их плотности и объёмы:

$$ m_{\text{Au}} = \rho_{\text{Au}} \cdot V_{\text{Au}}, $$
$$ m_{\text{Ag}} = \rho_{\text{Ag}} \cdot V_{\text{Ag}}. $$

Подставляя это в уравнение для массы короны:

$$ m_{\text{короны}} = \rho_{\text{Au}} \cdot V_{\text{Au}} + \rho_{\text{Ag}} \cdot V_{\text{Ag}}. $$

Средняя плотность короны будет равна:

$$ \rho_{\text{короны}} = \frac{m_{\text{короны}}}{V_{\text{короны}}}. $$

Подставляя массу короны, получаем:

$$ \rho_{\text{короны}} = \frac{\rho_{\text{Au}} \cdot V_{\text{Au}} + \rho_{\text{Ag}} \cdot V_{\text{Ag}}}{V_{\text{Au}} + V_{\text{Ag}}}. $$

7. Решение системы уравнений

Для определения объёмов золота и серебра ($ V_{\text{Au}} $ и $ V_{\text{Ag}} $), нужно решить систему уравнений:

1. $ V_{\text{короны}} = V_{\text{Au}} + V_{\text{Ag}}, $
2. $ \rho_{\text{короны}} = \frac{\rho_{\text{Au}} \cdot V_{\text{Au}} + \rho_{\text{Ag}} \cdot V_{\text{Ag}}}{V_{\text{Au}} + V_{\text{Ag}}}. $

После нахождения объёмов $ V_{\text{Au}} $ и $ V_{\text{Ag}} $, можно вычислить массы золота и серебра в короне.

8. Объём короны из чистого золота

Если бы корона была полностью из золота, её объём можно было бы найти, используя плотность золота ($ \rho_{\text{Au}} $) и массу короны ($ m_{\text{короны}} $):

$$ V_{\text{чистое золото}} = \frac{m_{\text{короны}}}{\rho_{\text{Au}}}. $$