Одинаковая ли энергия потребуется для нагревания газа до одной и той же температуры: когда он находится в цилиндре с легкоподвижным поршнем; когда поршень закреплён?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть основные физические принципы, связанные с нагреванием газа и изменением его состояния. Мы проведем анализ двух случаев: когда газ находится в цилиндре с легкоподвижным поршнем и когда поршень закреплен. Важные темы, которые следует учитывать, включают термодинамику, теплоемкость газа, виды тепловых процессов и работу газа.

1. Термодинамика и внутренняя энергия газа Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и равна сумме кинетической энергии молекул газа. Для одноатомного газа внутренняя энергия рассчитывается по формуле: $$ U = \frac{3}{2} nRT, $$ где $ n $ — количество вещества газа (моль), $ R $ — универсальная газовая постоянная, $ T $ — температура газа. В случае многоатомных газов формула модифицируется, так как энергия включает дополнительные степени свободы (вращение и колебания молекул).

При нагревании газа его внутренняя энергия увеличивается, что означает повышение температуры.

1. Теплоемкость газа Теплоемкость — это количество тепла, необходимое для изменения температуры вещества. Для газа различают две теплоемкости:
   • Изохорная теплоемкость ($ C_v $) — тепло, необходимое для нагревания газа при постоянном объеме (без изменения объема).
   • Изобарная теплоемкость ($ C_p $) — тепло, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении (с возможностью изменения объема).

Для идеального газа существует связь между $ C_p $ и $ C_v $:
$$ C_p = C_v + R, $$
где $ R $ — универсальная газовая постоянная. Величина $ R $ учитывает работу газа при расширении.

1. Работа газа
   Работа газа рассчитывается как:
   $$ A = P \Delta V, $$
   где $ P $ — давление газа, $ \Delta V $ — изменение объема.
   В тепловых процессах работа газа возникает только при изменении объема. Если объем постоянен ($ \Delta V = 0 $), то работа газа равна нулю.

2. Виды тепловых процессов

   • Изохорный процесс (поршень закреплен) При закрепленном поршне объем газа постоянен ($ \Delta V = 0 $). Система не выполняет работу ($ A = 0 $), и вся подводимая энергия идет на увеличение внутренней энергии газа. Количество тепла определяется как: $$ Q = n C_v \Delta T, $$ где $ \Delta T $ — изменение температуры.

• Изобарный процесс (легкоподвижный поршень) Если поршень легкоподвижен, давление остается постоянным, но объем может изменяться. В этом случае часть подводимого тепла идет на выполнение работы газа ($ A > 0 $), а часть — на увеличение внутренней энергии. Количество тепла определяется как: $$ Q = n C_p \Delta T. $$

Так как $ C_p > C_v $, для нагревания газа до одной и той же температуры в изобарном процессе потребуется больше тепла, чем в изохорном процессе.

1. Сравнение теплоты в двух случаях
   • В изохорном процессе весь подводимый теплообмен идет на увеличение внутренней энергии газа.
   • В изобарном процессе часть подводимого тепла идет на увеличение внутренней энергии, а часть — на выполнение работы, связанной с расширением газа.

Таким образом, для нагревания газа до одинаковой температуры, количество тепла в изобарном процессе будет больше, чем в изохорном, из−за выполнения работы газа при расширении.

Рассмотренные теоретические аспекты позволяют проанализировать задачу, используя формулы для теплоты в различных процессах.