В какой точке на поверхности земли (рис. 93) неподвижный шар будет находиться в состоянии устойчивого равновесия; неустойчивого равновесия; безразличного равновесия?

рис. 93

Для решения задачи о равновесии шарика на различных участках поверхности рассмотрим три типа равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Эти понятия связаны с поведением тела при небольших отклонениях от точки равновесия.

Основные понятия:

1. Устойчивое равновесие Тело находится в состоянии устойчивого равновесия, если при небольшом отклонении от исходной позиции оно возвращается в эту же позицию благодаря действию силы, направленной к точке равновесия.
2. В данном случае сила тяжести создает момент, который возвращает тело в исходное положение.

3. Геометрически устойчивое равновесие наблюдается в точках, где шарик располагается в нижней части впадины (локальный минимум высоты поверхности).

4. Неустойчивое равновесие
   Тело находится в состоянии неустойчивого равновесия, если при небольшом отклонении оно уходит от исходной позиции, и силы, действующие на него, увеличивают это отклонение.

5. Геометрически неустойчивое равновесие возникает, когда шарик располагается на вершине "горки" (локальный максимум высоты поверхности).

6. Безразличное равновесие
   Равновесие считается безразличным, если при небольшом отклонении от исходной позиции тело остается в новом положении, не возвращаясь в исходное и не отклоняясь дальше.

7. Геометрически это соответствует плоской поверхности, где потенциальная энергия шарика не изменяется при его перемещении.

Потенциальная энергия:

Положение равновесия можно проанализировать через потенциальную энергию. Потенциальная энергия зависит от высоты тела над уровнем земли:
$$ E_{\text{пот}} = mgh $$,
где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота.
− Локальный минимум потенциальной энергии (впадина) соответствует устойчивому равновесию.
− Локальный максимум (вершина) — неустойчивому равновесию.
− Участок без изменения высоты — безразличному равновесию.

Анализ поверхности:

На рисунке изображены три точки, каждая из которых соответствует различному поведению шарика:
− Точка 1: вершина. Здесь шарик находится на максимальной высоте (локальный максимум), и малейшее отклонение приведет к скатыванию вниз. Это соответствует неустойчивому равновесию.
− Точка 2: плоская поверхность. Здесь шарик не будет ни скатываться вниз, ни возвращаться в исходное положение при отклонении. Это соответствует безразличному равновесию.
− Точка 3: впадина. Здесь шарик находится на минимальной высоте (локальный минимум), и малейшее отклонение вызовет действие силы, возвращающей его обратно. Это соответствует устойчивому равновесию.

Таким образом, равновесие шарика можно определить, анализируя геометрию поверхности и поведение силы тяжести.