Как изменится потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении его деформации в 4 раза; уменьшении деформации в 2 раза?
$E_{1} = \frac{k * Δx^{2}}{2}$.
Увеличим деформацию в 4 раза:
$E_{2} = \frac{k * (4 * Δx)^{2}}{2} = \frac{k * 16 * Δx^{2}}{2}$;
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{\frac{k * 16 * Δx^{2}}{2}}{\frac{k * Δx^{2}}{2}} = 16$.
Потенциальная энергия увеличится в 16 раз.
Уменьшим деформацию в 2 раза:
$E_{2} = \frac{k * (\frac{Δx}{2})^{2}}{2} = \frac {\frac{k * Δx^{2}}{4}}{2} = \frac {k * Δx^{2}}{8}$;
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{\frac {k * Δx^{2}}{8}}{\frac{k * Δx^{2}}{2}} = \frac{1}{4}$.
Потенциальная энергия уменьшится в 4 раза.
Для решения этой задачи важно разобраться с понятием потенциальной энергии упруго деформированного тела и законом, который описывает её зависимость от величины деформации.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела:
Потенциальная энергия упругой деформации — это энергия, которая запасается в теле, если оно подвергается упругой деформации, например растяжению, сжатию или изгибу. Эта энергия определяется формулой:
$$ E_p = \frac{1}{2} k x^2, $$
где:
− $ E_p $ — потенциальная энергия упруго деформированного тела (в джоулях, Дж),
− $ k $ — коэффициент жёсткости тела или упругости (в ньютонах на метр, Н/м),
− $ x $ — величина деформации (растяжения или сжатия) тела (в метрах, м).
Коэффициент жёсткости $ k $ характеризует упругие свойства тела — насколько оно сопротивляется деформации. Чем больше $ k $, тем труднее изменить форму или размеры тела.
Анализ формулы:
Потенциальная энергия $ E_p $ пропорциональна квадрату величины деформации $ x $. Это означает, что если $ x $ увеличивается в несколько раз, то энергия увеличивается в квадрат этой величины. Например, если $ x $ увеличить в два раза, то $ E_p $ увеличится в $ 2^2 = 4 $ раза.
Аналогично, если $ x $ уменьшается, то $ E_p $ уменьшается в квадрат того, во сколько раз уменьшилась $ x $. Например, если $ x $ уменьшить в два раза, то $ E_p $ станет меньше в $ 2^2 = 4 $ раза.
Важно заметить, что коэффициент $ k $ в данной задаче остаётся неизменным, так как физические свойства тела (жёсткость) не меняются.
Изменение энергии при деформации:
Теперь, используя формулу $ E_p = \frac{1}{2}k x^2 $, можно сделать выводы о том, как изменяется потенциальная энергия при изменении величины деформации:
Если деформация увеличивается в 4 раза:
Величина деформации $ x $ увеличивается в 4 раза. Значит, новая деформация станет равной $ 4x $. Подставляем новую величину деформации в формулу энергии:
$$
E_p' = \frac{1}{2}k (4x)^2 = \frac{1}{2}k \cdot 16x^2 = 16 \cdot \frac{1}{2}k x^2.
$$
Таким образом, потенциальная энергия увеличится в $ 16 $ раз.
Если деформация уменьшается в 2 раза:
Величина деформации $ x $ уменьшается в 2 раза. Значит, новая деформация станет равной $ \frac{x}{2} $. Подставляем эту деформацию в формулу:
$$
E_p' = \frac{1}{2}k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}k \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}k x^2.
$$
Таким образом, потенциальная энергия уменьшится в $ 4 $ раза.
Вывод:
Потенциальная энергия упруго деформированного тела зависит квадратично от величины деформации. Увеличение или уменьшение деформации влияет на энергию в пропорции квадрата изменения деформации.
Пожауйста, оцените решение
