Какую работу производит экскаватор при равномерном подъёме ковшом 14 $м^{3}$ грунта на высоту 5 м? Плотность грунта равна 1400 кг/$м^{3}$.

Чтобы решить задачу, следует подробно разобрать теоретический материал, связанный с понятием работы в физике, а также рассмотреть все необходимые формулы и их применение.

1. Что такое работа в физике?
   Работа в физике обозначается буквой $ A $ и определяется как результат действия силы на тело или систему, вызывающего перемещение объекта. Если сила действует на тело и перемещает его в направлении этой силы, работа будет положительной. Если перемещение происходит в направлении, противоположном действию силы, работа будет отрицательной.

2. Формула для вычисления работы:

Работа определяется как произведение силы, действующей на тело, на величину перемещения тела в направлении этой силы. Общая формула выглядит так:
$$ A = F \cdot s \cdot \cos{\alpha}, $$
где:
− $ A $ — работа (измеряется в Джоулях, $ \text{Дж} $),
− $ F $ — сила, приложенная к телу (измеряется в Ньютонах, $ \text{Н} $),
− $ s $ — путь, пройденный телом (измеряется в метрах, $ \text{м} $),
− $ \alpha $ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

1. Условия задачи: работа против силы тяжести. В данном случае экскаватор поднимает грунт на высоту $ h = 5 \, \text{м} $. Когда тело поднимается вертикально, направление силы тяжести противоположно направлению перемещения. Таким образом, угол $ \alpha = 0^\circ $ для силы, необходимой для подъёма, так как она направлена вертикально вверх, как и перемещение.

В этом случае формула для работы упрощается:
$$ A = F \cdot h, $$
где:
− $ F $ — сила тяжести, действующая на грунт,
− $ h $ — высота, на которую поднимается грунт.

1. Вычисление силы тяжести.
   Сила тяжести определяется по формуле:
   $$ F = m \cdot g, $$
   где:

   • $ m $ — масса тела (грунта в данном случае),
   • $ g $ — ускорение свободного падения, которое на Земле приблизительно равно $ 9{,}8 \, \text{м/с}^2 $.

2. Поиск массы грунта.
   В задаче дана плотность грунта $ \rho = 1400 \, \text{кг/м}^3 $ и объём $ V = 14 \, \text{м}^3 $. Массу грунта можно найти через плотность и объём по формуле:
   $$ m = \rho \cdot V, $$
   где:

   • $ \rho $ — плотность вещества,
   • $ V $ — объём вещества.

3. Совместная формула для работы.
   Подставляя выражение для силы тяжести в формулу работы, получаем:
   $$ A = F \cdot h = (m \cdot g) \cdot h. $$
   Подставив $ m = \rho \cdot V $, выражение для работы приобретает вид:
   $$ A = (\rho \cdot V \cdot g) \cdot h, $$
   где:

   • $ \rho $ — плотность,
   • $ V $ — объём,
   • $ g $ — ускорение свободного падения,
   • $ h $ — высота.

4. Единицы измерения.

   • Плотность грунта дана в $ \text{кг/м}^3 $, объём в $ \text{м}^3 $, поэтому масса окажется в килограммах ($ \text{кг} $).
   • Ускорение свободного падения $ g $ измеряется в $ \text{м/с}^2 $.
   • Высота $ h $ измеряется в метрах ($ \text{м} $).
   • Работа $ A $ измеряется в Джоулях ($ \text{Дж} $), так как $ 1 \, \text{Дж} = 1 \, \text{Н} \cdot \text{м} $, а $ \text{Н} = \text{кг} \cdot \text{м/с}^2 $.

Таким образом, чтобы найти работу, нужно:
1. Найти массу грунта по формуле $ m = \rho \cdot V $,
2. Вычислить силу тяжести $ F = m \cdot g $,
3. Подставить $ F $ в формулу работы $ A = F \cdot h $,
4. Или сразу использовать комбинированную формулу $ A = (\rho \cdot V \cdot g) \cdot h $.