Два одинаковых стакана наполнены до краёв водой. В одном из них плавает деревянный брусок. Какой из сосудов перетянет, если их поставить на весы? Результат проверьте опытным путём.

Для анализа данной задачи потребуется рассмотреть несколько важных физических принципов, связанных с равновесием тел, плаванием тел, законом Архимеда и законом сохранения массы. Понимание этих концепций поможет определить, какой из стаканов окажется тяжелее, если поставить их на весы.

1. Закон Архимеда и плавание тел в жидкости

Закон Архимеда гласит: на тело, погружённое в жидкость, действует сила выталкивания, равная весу вытесненной этим телом жидкости. Формула для силы Архимеда:
$$ F_A = \rho \cdot g \cdot V, $$
где:
− $F_A$ — сила Архимеда,
− $\rho$ — плотность жидкости,
− $g$ — ускорение свободного падения,
− $V$ — объём вытесненной жидкости.

Плавание деревянного бруска в воде обусловлено равновесием сил: сила тяжести, действующая на брусок, уравновешивается силой Архимеда, создаваемой за счёт вытесненной воды. Брусок будет погружаться в жидкость до тех пор, пока объём вытесненной воды не станет таким, чтобы сила Архимеда скомпенсировала вес бруска. Поэтому объём погруженной части бруска равен объёму воды, вытесненной этим бруском.

2. Масса системы в каждом стакане

Масса содержимого каждого стакана складывается из массы воды в стакане и массы возможных дополнительных объектов (в данном случае деревянного бруска).

Для стакана без бруска:
$$ m_{\text{стакан1}} = m_{\text{воды1}}, $$
где $m_{\text{воды1}}$ — масса воды в первом стакане.

Для стакана с деревянным бруском:
$$ m_{\text{стакан2}} = m_{\text{воды2}} + m_{\text{бруска}}, $$
где $m_{\text{воды2}}$ — масса воды во втором стакане, а $m_{\text{бруска}}$ — масса деревянного бруска.

3. Вытесненная вода и влияние бруска на массу системы

Когда деревянный брусок плавает в воде, он вытесняет определённый объём воды. Так как брусок плавает, его вес равен весу вытесненной воды:
$$ m_{\text{бруска}} \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{вытесненной воды}} \cdot g. $$
Отсюда:
$$ m_{\text{бруска}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{вытесненной воды}}, $$
где:
− $m_{\text{бруска}}$ — масса деревянного бруска,
− $V_{\text{вытесненной воды}}$ — объём воды, вытесненной бруском,
− $\rho_{\text{воды}}$ — плотность воды.

Поскольку брусок плавает на поверхности, он не добавляет дополнительной массы в стакан сверх массы воды, которую вытеснил. Таким образом, масса второго стакана ($m_{\text{стакан2}}$) равна массе воды, полностью заполнившей стакан до краёв (как и в первом стакане).

4. Сравнение масс обоих стаканов

В первом стакане содержится только вода. Во втором стакане находится вода и плавающий деревянный брусок, но брусок вытесняет часть воды, так что общий уровень воды остаётся неизменным. Поскольку масса вытесненной воды равна массе бруска, общая масса второго стакана остаётся такой же, как и у первого стакана.

Следовательно, оба стакана имеют одинаковую массу. Если поставить их на весы, они будут находиться в равновесии.

5. Итоговый вывод

Масса двух стаканов одинакова, потому что деревянный брусок вытесняет ровно столько воды, сколько составляет его собственная масса. Это объясняется тем, что брусок плавает, а закон Архимеда гарантирует равновесие сил. Опытным путём этот результат можно проверить с помощью весов: оба стакана покажут одинаковый вес.