а) В левое колено сообщающегося сосуда налит керосин, в правое − вода. Высота столба воды равна 4 см. Определите, на сколько уровень керосина в левом колене выше верхнего уровня воды.
б) В сообщающемся сосуде в левом колене находится ртуть, в правом — ртуть и вода. Высота столба воды равна 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне?

Для решения обеих частей задачи нужно понимать свойства сообщающихся сосудов, давление в жидкостях, а также зависимость давления от плотности жидкости и высоты столба жидкости. Рассмотрим необходимые теоретические основы для решения задачи.

Основной принцип работы сообщающихся сосудов:
1. Сообщающиеся сосуды — это система, состоящая из двух или более сосудов, соединённых в нижней части, так что жидкости в них могут свободно перемещаться.
2. Если в сообщающихся сосудах налиты различные жидкости, каждая из которых не смешивается друг с другом, то на границе между жидкостями должно установиться равенство давлений.

Давление в жидкости:
1. Давление в жидкости на определённой глубине рассчитывается по формуле:
$$ P = \rho g h, $$
где $P$ — давление на заданной глубине, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8\ \text{м/с}^2$), $h$ — высота столба жидкости.
2. Давление зависит от высоты столба жидкости и её плотности, но не зависит от формы сосуда.

Принцип равновесия давления в сообщающихся сосудах:
1. Если сосуды сообщаются между собой и жидкости в них неподвижны, то давление в любой точке на уровне, где жидкости соприкасаются, одинаково.
2. Если в одном колене сосуда налита одна жидкость, а в другом — другая, то давления, создаваемые столбами жидкостей, равны:
$$ \rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2, $$
где $\rho_1$ и $\rho_2$ — плотности двух жидкостей, $h_1$ и $h_2$ — высоты столбов этих жидкостей. Ускорение свободного падения $g$ сокращается, и уравнение можно записать в виде:
$$ \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2. $$

Сравнение уровней жидкостей:
1. Если плотности жидкостей различны, то высоты столбов этих жидкостей, создающих одинаковое давление, будут разными. Более лёгкая, менее плотная жидкость будет иметь больший столб, чем более тяжёлая жидкость.
2. Из уравнения $\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$ можно найти высоту столба одной жидкости, если известны плотности жидкостей и высота столба другой жидкости.

В данной задаче:
1. Для части (а) используются свойства керосина и воды. Уровень керосина будет выше уровня воды, так как керосин имеет меньшую плотность, чем вода. Соотношение высот столбов керосина и воды можно найти из уравнения равенства давлений.
2. Для части (б) добавляется третья жидкость — ртуть, которая является самой плотной из жидкостей. Здесь потребуется учесть давление всех жидкостей, чтобы ртуть находилась на одном уровне в обоих коленах сосуда.

Плотности жидкостей:
− Плотность воды $\rho_{\text{вода}} = 1000\ \text{кг/м}^3$;
− Плотность керосина $\rho_{\text{керосин}} \approx 800\ \text{кг/м}^3$;
− Плотность ртути $\rho_{\text{ртуть}} = 13600\ \text{кг/м}^3$.

Алгоритм решения задачи:
1. Записываем уравнение равенства давлений для каждой ситуации.
2. Выражаем высоту неизвестного столба жидкости через высоты и плотности известных жидкостей.
3. Выполняем все расчёты, используя соответствующие численные значения для плотностей жидкостей.

Итак, основываясь на этих теоретических принципах, можно составить уравнения давления для обеих частей задачи и найти требуемые высоты или уровни жидкостей.