Чему равен период полураспада радиоактивного элемента, если его активность за 10 дней уменьшилась в 4 раза?
Дано:
$\frac{N}{N_{0}} = \frac{1}{4}$;
t = 10 дней.
Найти:
T − ?
Решение:
Радиоактивность − превращение нестабильных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц.
Закон радиактивного распада:
$N = N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}}$;
$\frac{N}{N_{0}} = \frac{N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}}}{N_{0}} = \frac{1}{2}^{\frac{t}{T}} = \frac{1}{2}^{\frac{10}{T}}$;
$\frac{N}{N_{0}} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}^{\frac{10}{T}}$;
$\frac{10}{T} = 2$;
$T = \frac{10}{2} = 5$ суток.
Ответ: 5 суток.
Для решения данной задачи необходимо понять теоретическую основу, связанную с радиоактивным распадом и периодом полураспада:
Радиоактивный распад
Радиоактивный распад — это процесс самопроизвольного превращения нестабильных атомных ядер в более стабильные, сопровождающийся выделением энергии в виде излучения. Радиоактивный распад подчиняется законам статистики. Он характеризуется тем, что количество радиоактивных атомов уменьшается со временем.
Период полураспада
Период полураспада (обозначается как $ T_{\frac{1}{2}} $) — это время, за которое половина исходного количества радиоактивных атомов или половина активности вещества распадается. Активность ($ A $) радиоактивного вещества прямо пропорциональна количеству оставшихся радиоактивных атомов.
Закон радиоактивного распада
Закон радиоактивного распада описывается формулой:
$$
A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}
$$
где:
$ A(t) $ — активность вещества через время $ t $,
$ A_0 $ — начальная активность вещества,
$ \lambda $ — постоянная распада (характеризует скорость распада вещества),
$ t $ — время, прошедшее с момента начала.
Постоянная распада $ \lambda $ связана с периодом полураспада $ T_{\frac{1}{2}} $ следующим образом:
$$
\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}}
$$
где $ \ln(2) \approx 0.693 $.
Снижение активности
Когда активность уменьшается в несколько раз, можно применить отношение начальной активности к конечной. Если активность уменьшилась в 4 раза за время $ t $, то:
$$
\frac{A_0}{A(t)} = 4
$$
Вместо $ A(t) $ подставим выражение из закона радиоактивного распада:
$$
\frac{A_0}{A_0 \cdot e^{-\lambda t}} = 4
$$
Сократив $ A_0 $, получаем:
$$
e^{\lambda t} = 4
$$
Применяя свойства логарифмов, можно выразить $ \lambda $:
$$
\lambda = \frac{\ln(4)}{t}
$$
где $ \ln(4) \approx 1.386 $.
Связь периода полураспада и времени снижения активности
Теперь мы можем связать период полураспада $ T_{\frac{1}{2}} $ с временем $ t $ через постоянную распада:
$$
T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
$$
Подставляя $ \lambda $:
$$
T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln(2) \cdot t}{\ln(4)}
$$
Заключение
Для расчёта периода полураспада нужно подставить значение времени $ t $, которое в данном случае равно 10 дней, в полученную формулу. Таким образом, задача сводится к вычислению $ T_{\frac{1}{2}} $ по известным логарифмическим выражениям и времени.
Пожауйста, оцените решение
