Какая доля радиоактивных ядер урана распадается за время, равное периоду полураспада, половине периода полураспада?
1. Дано:
t = T.
Найти:
$\frac{N_{расп}}{N_{0}}$ − ?
Решение:
Радиоактивность − превращение нестабильных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц.
Закон радиактивного распада:
$N = N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}}$, где
N − число частиц в момент времени t;
$N_{0}$ − число частиц в начальный момент времени;
T − период полураспада;
$N = N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}} = N_{0} * 2^{-\frac{T}{T}} = \frac{N_{0}}{2}$;
$N_{расп} = N_{0} - N = N_{0} - \frac{N_{0}}{{2}} = \frac{N_{0}}{{2}}$;
$\frac{N_{расп}}{N_{0}} = \frac{\frac{N_{0}}{{2}}}{N_{0}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
2. Дано:
$t = \frac{T}{2}$;
Найти:
$\frac{N_{расп}}{N_{0}}$ − ?
Решение:
Радиоактивность − превращение нестабильных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц.
Закон радиактивного распада:
$N = N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}}$, где
N − число частиц в момент времени t;
$N_{0}$ − число частиц в начальный момент времени;
T − период полураспада;
$N = N_{0} * 2^{-\frac{t}{T}} = N_{0} * 2^{-\frac{\frac{T}{2}}{T}} = N_{0} * 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{N_{0}}{\sqrt{2}}$;
$N_{расп} = N_{0} - N = N_{0} - \frac{N_{0}}{\sqrt{2}} = N_{0} * (1-\frac{1}{\sqrt{2}})$;
$\frac{N_{расп}}{N_{0}} = \frac{N_{0} * (1-\frac{1}{\sqrt{2}})}{N_{0}} = 1-\frac{1}{\sqrt{2}} = 0,29$.
Ответ: 0,29.
Для решения задачи нужно детально понять процесс радиоактивного распада. Давайте обсудим его теоретическую основу.
Радиоактивный распад — это естественный процесс, при котором нестабильные атомные ядра самопроизвольно превращаются в ядра других элементов, выделяя при этом энергию в виде излучения (альфа−, бета− или гамма−излучения). Этот процесс описывается экспоненциальным законом.
Период полураспада (T) — время, за которое половина начального числа радиоактивных ядер распадается. Это характеристика конкретного радиоактивного вещества и не зависит от количества ядер или от времени наблюдения.
Число оставшихся ядер ($N$) — число радиоактивных ядер, которые остаются несгоревшими в процессе распада. Это число уменьшается со временем.
Начальное число ядер ($N_0$) — количество радиоактивных ядер в начале наблюдений (в момент времени $t = 0$).
Экспоненциальный закон радиоактивного распада:
$$
N = N_0 \cdot e^{-\lambda t},
$$
где:
Связь между $\lambda$ и $T$:
$$
\lambda = \frac{\ln(2)}{T},
$$
где $\ln(2) \approx 0.693$.
Для вычисления доли распавшихся ядер, нужно определить, сколько ядер осталось несгоревшими ($N$) после определенного времени $t$ и вычесть это количество из начального числа ядер ($N_0$). Затем, доля распавшихся ядер вычисляется как отношение числа распавшихся ядер к их начальному количеству:
$$
\text{Доля распавшихся ядер} = \frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \frac{N}{N_0}.
$$
Если $t = T$:
За период полураспада количество оставшихся ядер уменьшается ровно вдвое:
$$
N = \frac{N_0}{2}.
$$
Тогда доля распавшихся ядер равна:
$$
\text{Доля распавшихся ядер} = 1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{\frac{N_0}{2}}{N_0} = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 \, (50\%).
$$
Если $t = \frac{T}{2}$:
Для половины периода полураспада используется экспоненциальная формула:
$$
N = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t},
$$
где $\lambda = \frac{\ln(2)}{T}$ и $t = \frac{T}{2}$. Подставляя:
$$
N = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T} \cdot \frac{T}{2}} = N_0 \cdot e^{-\ln(2)/2}.
$$
Значение $e^{-\ln(2)/2}$ можно выразить через корень:
$$
e^{-\ln(2)/2} = \sqrt{e^{-\ln(2)}} = \sqrt{\frac{1}{2}}.
$$
Таким образом, $\frac{N}{N_0} = \sqrt{\frac{1}{2}}$, и доля распавшихся ядер равна:
$$
\text{Доля распавшихся ядер} = 1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \sqrt{\frac{1}{2}}.
$$
При решении задачи важно учитывать формулы радиоактивного распада, период полураспада и экспоненциальный закон. Результаты зависят от времени, выбранного для анализа (один период, половина периода и т.д.).
Пожауйста, оцените решение
