На поверхности воды распространяются волны от двух когерентных источников, совершающих колебания в одинаковых фазах. Длина каждой волны равна 20 см. В некоторой области волны перекрываются. Какова амплитуда колебаний частиц поверхности воды в точке, разность хода волн до которой составляет 20 см; 30 см? В рассматриваемой области наложения волн их амплитуды одинаковы и равны 5 см.

Для решения задачи требуется понять основные концепции интерференции волн, их амплитудного сложения и взаимосвязи между разностью хода и фазой. Давайте подробно разберём теоретическую часть.

1. Волны на поверхности воды и их свойства

На поверхности воды распространяются механические волны, которые создаются набегающими колебаниями источников. Такие волны характеризуются:
− Длиной волны ($\lambda$) — расстояние между двумя последовательными точками, находящимися в одинаковой фазе колебаний.
− Амплитудой волны ($A$) — максимальное смещение частиц воды от их положения равновесия.
− Частотой волны ($f$) — количество колебаний в единицу времени.
− Скоростью распространения волны ($v$) — скорость перемещения фронта волны в пространстве.

2. Когерентные источники волн

Когерентные источники — это источники, создающие волны с одинаковой частотой, длиной волны и постоянной разностью фаз. Они обеспечивают устойчивую картину интерференции.

В данной задаче указано, что два когерентных источника волн колеблются в одинаковых фазах, и длина волны равна $\lambda = 20\ \text{см}$. Это означает, что волны имеют фиксированную длину, и их фазы остаются согласованными при распространении.

3. Интерференция волн

Когда две волны перекрываются в пространстве, их амплитуды складываются. Это явление называется интерференцией. Сложение амплитуд может происходить по принципу суперпозиции:

• Если волны приходят в точку в одинаковой фазе (пик на пик или впадина на впадину), происходит конструктивная интерференция. Амплитуды складываются, и результирующая амплитуда увеличивается.
• Если волны приходят в точку в противофазе (пик на впадину и наоборот), происходит деструктивная интерференция. Амплитуды вычитаются (возможны полное гашение или уменьшение амплитуды).

Результирующая амплитуда в точке зависит от разности хода волн.

4. Разность хода волн

Разность хода ($\Delta l$) — это разность расстояний, которые проходили волны от своих источников до рассматриваемой точки. Разность хода влияет на разность фаз ($\Delta \varphi$) двух волн по следующей формуле:

$$ \Delta \varphi = \frac{2\pi \Delta l}{\lambda} $$

где:
− $\Delta \varphi$ — разность фаз (в радианах),
− $\Delta l$ — разность хода,
− $\lambda$ — длина волны.

5. Амплитуда результирующей волны

Чтобы найти результирующую амплитуду в точке наложения волн, используется следующая формула:

$$ A_{\text{рез}} = 2A \cos\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) $$

где:
− $A_{\text{рез}}$ — результирующая амплитуда,
− $A$ — амплитуда каждой из волн,
− $\Delta \varphi$ — разность фаз между волнами.

6. Разность фаз при конкретных значениях разности хода

• Если $\Delta l = \lambda$, то $\Delta \varphi = 2\pi$. Волны находятся в одинаковой фазе, и амплитуды складываются конструктивно.
• Если $\Delta l = \lambda / 2$, то $\Delta \varphi = \pi$. Волны находятся в противофазе, и происходит деструктивная интерференция.

7. Длина волны и её связь с разностью хода

Для задачи:
− $\lambda = 20\ \text{см}$,
− $A = 5\ \text{см}$.

Разность хода волн в точке определяет взаимное положение их фаз (разность фаз), что влияет на сложение амплитуд.

Таким образом, для решения задачи нужно:
1. Вычислить разность фаз для каждой разности хода ($\Delta l = 20\ \text{см}$ и $\Delta l = 30\ \text{см}$).
2. Подставить найденные значения разности фаз в формулу для результирующей амплитуды ($A_{\text{рез}} = 2A \cos(\Delta \varphi / 2)$).
3. Учесть, что амплитуда каждой волны равна $A = 5\ \text{см}$.