Человек несёт ведро с водой на коромысле, которое при этом совершает собственные колебания, период которых равен 1,6 с. Определите, при какой скорости человека наступит резонанс, если длина его шага равна 60 см.
Дано:
$T_{в} = 1,6$ с;
l = 60 см.
Найти:
v − ?
СИ:
l = 0,6 м.
Решение:
При совпадении периодов колебания ($T_{в} = T_{ш}$) вода будет сильнее всего выплескиваться, то есть будет выполнено условие резонанса.
Период шагов мальчика равен:
$T_{ш} = \frac{2l}{v }$;
$v = \frac{2l}{T_{ш}} = \frac{2l}{T_{в}}$;
$v = \frac{2 * 0,6}{1,6} = 0,75$ м/с;
Ответ: 0,75 м/с.
Для решения задачи на явление резонанса необходимо сначала подробно разобраться с его теоретической основой и условиями возникновения. Давайте начнём с рассмотрения ключевых понятий и формул, которые понадобятся для анализа данной задачи.
Резонанс
Резонанс — это явление, при котором система испытывает резкое увеличение амплитуды колебаний под действием внешнего периодического воздействия. Условием возникновения резонанса является совпадение частоты внешнего воздействия с собственной частотой колебательной системы.
Собственные колебания
Система, способная совершать колебания, имеет определённую собственную частоту, которая зависит от её физической характеристик, например, массы, жёсткости, длины и других параметров. В данной задаче коромысло с ведром воды является колебательной системой, и нам известно, что его период собственных колебаний составляет $ T = 1,6 \, \text{с} $.
Связь между периодом $ T $ и частотой $ f $ колебаний задаётся формулой:
$$
f = \frac{1}{T},
$$
где:
− $ f $ — частота колебаний (в Гц),
− $ T $ — период колебаний (в секундах).
Периодическое воздействие
Человек, идущий с ведром, создаёт внешнее периодическое воздействие на коромысло. Это воздействие определяется частотой его шагов. Если длина шага человека равна $ l = 60 \, \text{см} $ ($ 0,6 \, \text{м} $), а скорость его движения равна $ v $, то можно определить частоту шагов следующим образом:
$$
f_{\text{шагов}} = \frac{v}{l},
$$
где:
− $ f_{\text{шагов}} $ — частота шагов человека (в Гц),
− $ v $ — скорость движения человека (в м/с),
− $ l $ — длина шага (в метрах).
Условие резонанса
Для наступления резонанса частота внешнего воздействия должна совпадать с собственной частотой колебательной системы:
$$
f_{\text{шагов}} = f_{\text{коромысла}}.
$$
Подставляя выражения для частот:
$$
\frac{v}{l} = \frac{1}{T}.
$$
Отсюда можно выразить скорость $ v $, при которой наступает резонанс:
$$
v = l \cdot \frac{1}{T}.
$$
Подготовительные вычисления
Для решения задачи потребуется:
1. Перевести длину шага $ l $ в метры, если она задана в сантиметрах.
2. Использовать данное значение периода $ T $ для расчёта собственной частоты коромысла $ f_{\text{коромысла}} $.
3. Подставить значения $ l $ и $ T $ в формулу для скорости $ v $, чтобы найти скорость, при которой наступит резонанс.
Эти теоретические шаги позволяют понять, каким образом связаны скорость человека, длина его шага и частота колебаний коромысла.
Пожауйста, оцените решение
