Маятник Фуко, много лет висевший в Исаакиевском соборе в Санкт−Петербурге, совершал 3 колебания за 1 мин. Какова была длина маятника?

Для решения этой задачи нужно применить теорию, которая связывает период колебаний маятника с его длиной. Рассмотрим это пошагово, чтобы понять, как можно найти длину маятника, когда известен период его колебаний.

Колебания маятника и формула для периода:

При анализе движения математического маятника используется следующая формула для периода $ T $ (времени одного полного колебания):

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, $$

где:
− $ T $ — период колебаний маятника (время, за которое маятник совершает одно полное колебание, в секундах),
− $ l $ — длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра массы маятника, в метрах),
− $ g $ — ускорение свободного падения (примерно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $ на поверхности Земли).

Определение периода из условия задачи:

Из условия задачи известно, что маятник совершает 3 колебания за 1 минуту. Это означает, что частота колебаний $ \nu $ (число колебаний за 1 секунду) равна:

$$ \nu = \frac{\text{число колебаний}}{\text{время в секундах}} = \frac{3}{60} = 0.05 \, \text{Гц}. $$

Частота и период колебаний связаны обратной зависимостью:

$$ T = \frac{1}{\nu}. $$

Подставив значение $ \nu = 0.05 \, \text{Гц} $, можно найти период $ T $.

Связь периода и длины маятника:

Мы уже знаем формулу для периода маятника:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. $$

Чтобы выразить длину маятника $ l $, нужно решить это уравнение относительно $ l $. Возведем обе стороны в квадрат:

$$ T^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{l}{g}. $$

Упростим выражение:

$$ T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{l}{g}. $$

Теперь выразим $ l $:

$$ l = \frac{T^2 \cdot g}{4\pi^2}. $$

Здесь:
− $ T $ — период колебаний (в секундах),
− $ g $ — ускорение свободного падения ($ 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
− $ \pi $ — константа, примерно равная $ 3.1416 $.

Готовая формула для длины:

После нахождения периода $ T $, подставляем его в формулу:

$$ l = \frac{T^2 \cdot g}{4\pi^2}. $$

Это выражение позволяет вычислить длину маятника, используя его период колебаний.

Важные замечания:

1. В данной задаче предполагается, что маятник является идеальным математическим маятником. Это означает, что его длина $ l $ измеряется от точки подвеса до центра массы маятника, а амплитуда колебаний мала, чтобы движение оставалось гармоническим.
2. Ускорение свободного падения ($ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $) может варьироваться в зависимости от местоположения на Земле, но в учебных задачах обычно принимается за стандартное значение.

Теперь, используя эту теоретическую базу, можно рассчитать длину маятника, подставив данные задачи в формулы.