Мальчик качается на качелях сидя. Изменится ли период колебания, если:
а) он будет качаться стоя;
б) подсядет ещё один мальчик?

Для решения задачи о периоде колебания качелей необходимо рассмотреть основные физические законы, связанные с колебаниями. В данном случае качели представляют собой маятник, а именно физический маятник, поскольку масса качелей и мальчика распределена по их длине. Для анализа задачи важно понимать, как зависит период колебаний физического маятника от различных факторов.

1. Физический маятник и его период колебаний Физический маятник отличается от простого маятника тем, что его масса распределена по длине. Период колебаний физического маятника $ T $ определяется следующим выражением: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g h}}, $$ где:
2. $ I $ — момент инерции маятника относительно оси вращения,
3. $ m $ — масса маятника,
4. $ g $ — ускорение свободного падения ($ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
5. $ h $ — расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Момент инерции $ I $ зависит от распределения массы маятника и расстояния от оси вращения. Центр масс $ h $ также изменяется в зависимости от положения масс.

1. Факторы, влияющие на период колебаний физического маятника
2. Масса маятника $ m $: В формуле периода масса $ m $ входит как множитель в числителе и знаменателе, поэтому она сокращается. Это означает, что масса маятника не влияет на период его колебаний напрямую. Однако изменение массы может повлиять на положение центра масс $ h $ и момент инерции $ I $, что, в свою очередь, отразится на периоде.
3. Положение центра масс $ h $: Чем дальше центр масс от оси вращения, тем больше значение $ h $. Увеличение $ h $ приводит к уменьшению периода, а уменьшение $ h $ — к увеличению периода.

4. Момент инерции $ I $: Момент инерции зависит от формы маятника, его размеров и распределения массы. Увеличение момента инерции приводит к увеличению периода, а уменьшение — к сокращению периода.

5. Разбор условий задачи
   а) Мальчик качается стоя.
   Когда мальчик качается сидя, его центр масс находится на уровне туловища, ближе к сиденью качелей. Если мальчик встанет, центр его масс поднимется выше, так как теперь он находится ближе к верхней части его тела (примерно на уровне груди).
   Это приведёт к уменьшению расстояния $ h $ от оси вращения (точки подвеса качелей) до центра масс системы. Поскольку $ h $ уменьшится, период колебаний $ T $ увеличится, так как $ T \propto \sqrt{1/h} $.
   Вывод: если мальчик начнёт качаться стоя, период колебаний увеличится.

б) На качели подсаживается ещё один мальчик.
Когда на качели подсаживается второй мальчик, масса маятника увеличивается. Однако увеличение массы не влияет на период колебаний напрямую, потому что масса сокращается в формуле. Однако появление второго мальчика изменяет положение центра масс системы. Центр масс опустится ниже, так как теперь он находится где−то между первыми и вторыми качающимися, ближе к сиденью качелей.
Снижение $ h $ (расстояния до центра масс) приводит к увеличению периода $ T $.
Вывод: если на качели подсаживается второй мальчик, период колебаний увеличится.