Тело массой m спустилось по наклонной плоскости без трения с высоты h. Какова скорость тела в конце движения? Какова была бы скорость этого тела, если бы оно свободно упало на землю с высоты h?

Для решения задачи о движении тела по наклонной плоскости и свободном падении необходимо обратиться к законам механики, особенно к закону сохранения энергии и основным кинематическим уравнениям. Рассмотрим теоретические аспекты, которые помогут понять подход к решению задачи.

1. Закон сохранения механической энергии В отсутствие потерь энергии (например, из−за трения), полная механическая энергия системы сохраняется. Полная механическая энергия состоит из двух компонентов: потенциальной энергии и кинетической энергии.
   • Потенциальная энергия определяется как $ E_\text{пот} = mgh $, где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с² на поверхности Земли), $ h $ — высота, на которой находится тело.
   • Кинетическая энергия выражается как $ E_\text{кин} = \frac{1}{2} mv^2 $, где $ v $ — скорость тела.

Когда тело перемещается вниз по наклонной плоскости или падает свободно, потенциальная энергия тела преобразуется в кинетическую энергию. В конце движения, находясь на уровне $ h = 0 $, вся его первоначальная потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую энергию.

Формула закона сохранения энергии:
$$ E_\text{пот нач} + E_\text{кин нач} = E_\text{пот конеч} + E_\text{кин конеч}. $$

В начальный момент времени тело находится на высоте $ h $, и его скорость равна нулю ($ v = 0 $), поэтому:
$$ E_\text{пот нач} = mgh,\quad E_\text{кин нач} = 0. $$
В конечный момент времени, когда тело достигает высоты $ h = 0 $, потенциальная энергия становится нулевой ($ E_\text{пот конеч} = 0 $), а кинетическая энергия достигает максимального значения:
$$ E_\text{кин конеч} = \frac{1}{2} mv^2. $$

Таким образом, при отсутствии потерь энергии можно записать:
$$ mgh = \frac{1}{2} mv^2. $$

Это позволяет выразить скорость тела в конце движения:
$$ v = \sqrt{2gh}. $$

Данная формула справедлива как для свободного падения тела, так и для движения тела по наклонной плоскости без трения.

1. Свободное падение
   При свободном падении тело движется вертикально вниз под действием силы тяжести. Ускорение тела в этом случае равно $ g $. Скорость тела в конце свободного падения с высоты $ h $ определяется той же формулой:
   $$ v = \sqrt{2gh}. $$

2. Движение по наклонной плоскости
   Движение тела по наклонной плоскости без трения можно рассматривать как преобразование потенциальной энергии в кинетическую. В этом случае направление движения тела отличается от вертикального, и его траектория определяется наклоном плоскости, но конечная скорость тела всё равно зависит только от высоты $ h $, поскольку трения нет. Таким образом, в конце движения его скорость будет такой же, как при свободном падении:
   $$ v = \sqrt{2gh}. $$

3. Зависимость от трения (в общем случае)
   Если бы на наклонной плоскости было трение, часть потенциальной энергии преобразовалась бы в тепловую энергию, и конечная скорость тела была бы меньше, чем в случае свободного падения. Однако в данной задаче трение отсутствует, поэтому весь процесс можно описать с использованием закона сохранения механической энергии.

Заключение: независимо от того, движется ли тело по наклонной плоскости или падает свободно, его скорость в конце движения определяется исключительно высотой $ h $ и ускорением свободного падения $ g $, а формула для скорости остаётся неизменной:
$$ v = \sqrt{2gh}. $$