В работе «О движении тел под влиянием удара» Гюйгенс писал: «Если с покоящимся телом соударяется одинаковое с ним тело, то ударившееся тело приходит в состояние покоя, а покоящееся тело приходит в движение со скоростью ударившегося о него». Согласны ли вы с этим утверждением Гюйгенса? Ответ обоснуйте.
а) Если удар упругий, то утверждение истинное.
По закону сохранения импульса:
$m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$;
В проекции на ось X:
$m_{1}v_{1} = m_{2} v_{2}^{'} - m_{1} v_{1}^{'}$;
Когда оба шара имеют одинаковые массы, то:
$mv_{1} = m * (v_{2}^{'} - v_{1}^{'})$;
$v_{1} = v_{2}^{'} - v_{1}^{'}$;
$v_{2}^{'} = v_{1} + v_{1}^{'} = v_{1} + 0$;
$v_{2}^{'} = v_{1}$.
Первый шар после соударения останавливается ($v_{1}^{'} = 0$), а второй движется со скоростью $v_{2}^{'} = v_{1}$, т.е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
б) Если удар неупругий, то утверждение ложное.
По закону сохранения импульса:
$m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = v^{'} * (m_{1} + m_{2})$;
В проекции на ось X:
$m_{1}v_{1} + 0 = v^{'} * (m_{1} + m_{2})$;
$v^{'} = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{mv_{1}}{2m} = \frac{v_{1}}{2}$.
Скорость ударившего тела уменьшится в 2 раза.
Для того чтобы рассмотреть утверждение Христиан Гюйгенса и обосновать, согласны ли вы с ним, необходимо обратиться к основным законам физики, связанным с движением тел, взаимодействием и сохранением физических величин при столкновении:
Сохранение импульса:
Импульс $(\vec{p})$ представляет собой произведение массы тела на его скорость:
$$
\vec{p} = m \cdot \vec{v}.
$$
Согласно закону сохранения импульса, если на систему тел не действуют внешние силы (или их действие компенсировано), то суммарный импульс системы до и после взаимодействия остаётся неизменным. Это можно записать в виде:
$$
\sum \vec{p}_{\text{до}} = \sum \vec{p}_{\text{после}}.
$$
Для двух тел $m_1$ и $m_2$ в одной системе до столкновения и после столкновения это выражается так:
$$
m_1 \cdot \vec{v}_{1\text{до}} + m_2 \cdot \vec{v}_{2\text{до}} = m_1 \cdot \vec{v}_{1\text{после}} + m_2 \cdot \vec{v}_{2\text{после}}.
$$
Сохранение кинетической энергии (для упругих столкновений):
При столкновении тел различают два основных типа взаимодействий: упругие и неупругие столкновения. В случае упругого столкновения, как в утверждении Гюйгенса, сохраняется не только импульс, но и суммарная кинетическая энергия системы:
$$
E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2.
$$
При упругом столкновении:
$$
E_{\text{кинетическая, до}} = E_{\text{кинетическая, после}}.
$$
Если столкновение является неупругим, часть кинетической энергии преобразуется в другие виды энергии (тепловую, звуковую и т. д.), и общее сохранение кинетической энергии не выполняется.
Анализ ситуации, описанной Гюйгенсом:
Гюйгенс рассматривает случай столкновения двух тел одинаковой массы $m_1 = m_2$.
Первое тело движется со скоростью $v_1$, второе неподвижно, то есть $v_2 = 0$.
После столкновения, по утверждению Гюйгенса, первое тело останавливается ($v_1' = 0$), а второе начинает двигаться со скоростью, равной скорости первого тела до столкновения ($v_2' = v_1$).
Проверка утверждения с использованием законов сохранения:
Сохранение импульса:
До столкновения суммарный импульс системы:
$$
p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 \cdot v_1.
$$
После столкновения суммарный импульс системы:
$$
p_{\text{после}} = m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_1.
$$
Поскольку массы тел равны ($m_1 = m_2$), импульс действительно сохраняется:
$$
m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_1.
$$
Пожауйста, оцените решение
