Известно, что велосипедист на повороте наклоняется. Угол наклона зависит от скорости движения (возрастает с её увеличением) и от радиуса окружности (возрастает с его уменьшением при одной и той же скорости движения). Зависит ли угол наклона от массы велосипедиста, т.е. должен ли угол наклона быть одинаковым при одной и той же скорости для отца и его десятилетнего сына? Ответ обоснуйте.
Изобразим все силы, действующие на велосипедиста: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила, которая может обеспечить движение велосипедиста по окружности − сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$.
Согласно законам статики, для того, чтобы велосипедист не потерял равновесие, необходимо, чтобы равнодействующая сил $\overset{→}{N}$ и $\overset{→}{F_{тр}}$ была направлена по прямой, проходящей через центр тяжести велосипедиста, эти силы направлены под углом 90° друг к другу.
$tgα = \frac{F_{тр}}{N} =\frac{μN}{N} = μ$;
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{F_{тр}} + \overset{→}{N}$;
Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = F_{тр} = μN$;
ось Y: 0 = N − mg;
N = mg;
ma = μmg;
$a = μg = \frac{v^{2}}{R}$;
$ μ = \frac{v^{2}}{gR}$;
$tgα = \frac{v^{2}}{gR}$;
$ α= arctg (\frac{v^{2}}{gR})$.
Таким образом, угол наклона зависит от скорости движения, радиуса окружности и не зависит от массы велосипедиста.
Для анализа данной задачи важны знания из механики, а именно о движении по окружности и силы, действующие на тело в таком движении.
Когда велосипедист движется по дуге окружности (например, на повороте), он испытывает центростремительное ускорение, которое направлено к центру этой окружности. Чтобы сохранить равновесие и не упасть, велосипедист наклоняется. Угол наклона можно объяснить через взаимодействие нескольких сил: силы тяжести, силы реакции опоры и центробежной силы.
Центробежная сила — это кажущаяся сила, связанная с инерциальным движением в системе отсчёта велосипедиста. Она направлена наружу от центра кривизны (в противоположную сторону центростремительной силы). По модулю она равна:
$$
F_{\text{цб}} = \frac{m v^2}{r},
$$
где:
− $m$ — масса велосипедиста с велосипедом,
− $v$ — скорость движения,
− $r$ — радиус поворота.
Сила тяжести действует на велосипедиста вертикально вниз и равна:
$$
F_{\text{тяж}} = m g,
$$
где:
− $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$).
Сила реакции опоры $R$ действует перпендикулярно поверхности контакта колеса с дорогой. Приложенные силы (включая вертикальную составляющую силы реакции опоры) компенсируют друг друга, чтобы велосипедист сохранял равновесие.
Для того чтобы велосипедист устойчиво двигался по криволинейной траектории, нужно, чтобы сумма моментов всех сил относительно точки опоры велосипедиста (точки контакта колеса с дорогой) была равна нулю. В результате этого возникает необходимость наклона тела велосипедиста.
В наклонённом состоянии силы действуют следующим образом:
− Горизонтальная составляющая силы реакции опоры компенсирует центробежную силу.
− Вертикальная составляющая силы реакции опоры вместе с силой тяжести уравновешивает вертикальную нагрузку.
Угол наклона $\theta$ определяется из условия равновесия моментов сил. Соотношение сил даёт:
$$
\tan\theta = \frac{F_{\text{цб}}}{F_{\text{тяж}}}.
$$
Подставляя значения сил:
$$
\tan\theta = \frac{\frac{m v^2}{r}}{m g}.
$$
Масса $m$ велосипедиста и велосипеда сокращается в уравнении:
$$
\tan\theta = \frac{v^2}{r g}.
$$
Таким образом, угол наклона $\theta$ зависит только от скорости $v$, радиуса поворота $r$ и ускорения свободного падения $g$. Масса $m$ велосипедиста не влияет на угол наклона.
Так как масса не входит в формулу для угла наклона, то при одинаковой скорости $v$ и радиусе поворота $r$ угол наклона будет одинаковым как для отца, так и для его десятилетнего сына. Разница в массе велосипедиста не играет роли в определении угла наклона.
Пожауйста, оцените решение
