Итальянский учёный Никола Тарталья (1499 − 1557) в одной из своих работ сообщил, что он «после изрядного размышления» доказал «естественными и математическими доводами» , что наибольшая дальность полёта снаряда
достигается при наклоне орудия под углом 45° к горизонту. Подтвердите математически вывод учёного.
Направим ось Ox параллельно горизонтальной составляющей начальной скорости, а ось Oy вверх. За начало отсчета примем точку старта снаряда.
Движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{0y} + g_{y}t$;
Т.к. $v_{0y} = v_{0}sinα$; $g_{y} = -g$; $v_{y} = 0$,то
$0 = v_{0}sinα - gt$;
$t = \frac{v_{0}sinα}{g}$;
Время полета снаряда в 2 раза больше времени его подъема.
$t_{п}= 2t$;
Движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t_{п}$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}cosα$; x = L, то:
$L = (v_{0}cosα) * 2t = (v_{0}cosα) * 2 * \frac{v_{0}sinα}{g} = \frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g}$;
Т.к. 2sinαcosα = sin2α, то:
$L = \frac{v_{0}^{2}sin2α}{g}$;
Дальность полёта тела при одной и тоже начальной скорости зависит от угла, под которым тело брошено к горизонту. Дальность полёта максимальная, когда максимален sin2α.
Максимальное значение синуса равно единице по угле 90°, т.е.
sin2α = 1;
2α = 90°;
α = 45°.
Ответ: 45°.
Чтобы подтвердить вывод Никола Тарталья о том, что наибольшая дальность полета снаряда достигается при угле 45° к горизонту, необходимо рассмотреть законы кинематики и динамики движения тел под действием силы тяжести, а также понятие дальности полета.
Движение снаряда: Снаряд, выпущенный под углом к горизонту, движется по параболической траектории. Это движение можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений:
Разложение скорости: Скорость, с которой снаряд покидает орудие, можно разложить на компоненты:
Время полета: Время $ T $ полета снаряда определяется временем, за которое он поднимается до высшей точки своей траектории и затем возвращается на уровень запуска. Для вертикального движения:
Горизонтальная дальность: Дальность полета $ R $ — это расстояние, пройденное снарядом по горизонтали за время полета:
$$
R = v_{x} \cdot T = v_{0} \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{2 \cdot v_{0} \cdot \sin(\theta)}{g} = \frac{2 \cdot v_{0}^{2} \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)}{g}
$$
Тригонометрическая идентичность: Используя тригонометрическую идентичность для двойного угла, можно упростить выражение дальности:
$$
R = \frac{v_{0}^{2}}{g} \cdot \sin(2\theta)
$$
Максимизация дальности: Для максимизации дальности необходимо максимизировать функцию $ \sin(2\theta) $. Поскольку максимум синуса равен 1 (при аргументе 90 градусов), получаем:
$$
2\theta = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ
$$
Таким образом, дальность полета снаряда будет максимальной, когда угол наклона орудия составляет 45°, что подтверждает выводы Тарталья.
Пожауйста, оцените решение
