Два тела, массы которых М и m (М > m), подняты на одинаковую высоту над землёй и одновременно отпущены. Исследуйте, одновременно ли они приземлятся, если сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова и постоянна.
Найдем ускорение тел $a_{1}$ и $a_{2}$ из второго закона Ньютона
для первого тела:
$g - F_{сопр} = Ma_{1}$;
$a_{1} = g - \frac{F_{сопр}}{M}$,
для второго тела:
$g - F_{сопр} = Ma_{2}$,
$a_{2} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$,
$a_{1} > a_{2}$.
Ответ: Более тяжёлое тело упадёт раньше, т.к. движется с большим ускорением.
Чтобы исследовать, одновременно ли два тела приземлятся, необходимо рассмотреть основные законы механики, которые описывают движение тел под действием силы тяжести и сопротивления воздуха. Мы будем опираться на второй закон Ньютона, а также учитывать влияние внешних сил, таких как сопротивление воздуха.
Сила тяжести (Fₚ):
На каждое тело действует сила тяжести, направленная вниз, которая определяется по формуле:
$$
Fₚ = mg,
$$
где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения (приблизительно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $ на поверхности Земли).
Сила сопротивления воздуха (F_c):
Учитывается, что сила сопротивления воздуха одинакова и постоянна для обоих тел:
$$
F_c = \text{const}.
$$
Эта сила действует в направлении, противоположном движению, и влияет на ускорение тел.
Результирующая сила (F):
Сумма всех сил, действующих на каждое тело вдоль вертикальной оси, определяет их ускорение. Согласно второму закону Ньютона:
$$
F = ma,
$$
где $ a $ — ускорение, а $ F $ — результирующая сила.
Рассмотрим каждое тело по отдельности. Силы, действующие на тело массой $ M $ или $ m $, складываются следующим образом:
$$
F = Fₚ - F_c.
$$
Подставляя выражения для $ Fₚ $ и $ F_c $:
$$
F = mg - F_c.
$$
Согласно второму закону Ньютона:
$$
F = ma.
$$
Следовательно, ускорение тела можно выразить как:
$$
a = \frac{F}{m} = \frac{mg - F_c}{m}.
$$
Для тела с массой $ M $, ускорение будет:
$$
a_M = \frac{Mg - F_c}{M}.
$$
Для тела с массой $ m $, ускорение будет:
$$
a_m = \frac{mg - F_c}{m}.
$$
Важно отметить, что $ F_c $ — это одна и та же величина для обоих тел (по условию задачи), но массы $ M $ и $ m $ различны ($ M > m $). Поэтому ускорения $ a_M $ и $ a_m $ будут разными.
Ускорение $ a_M $ для более массивного тела $ M $ можно записать как:
$$
a_M = g - \frac{F_c}{M}.
$$
Ускорение $ a_m $ для менее массивного тела $ m $ можно записать как:
$$
a_m = g - \frac{F_c}{m}.
$$
Поскольку $ M > m $, то дробь $ \frac{F_c}{M} < \frac{F_c}{m} $. Это означает, что:
$$
a_M > a_m.
$$
Таким образом, тело с большей массой будет двигаться с большим ускорением, чем тело с меньшей массой.
Время падения можно найти, исходя из кинематических уравнений движения при начальной скорости $ v_0 = 0 $:
$$
h = \frac{1}{2} a t^2,
$$
где $ h $ — высота падения, $ a $ — ускорение тела, $ t $ — время падения. Решая это уравнение для времени $ t $, получаем:
$$
t = \sqrt{\frac{2h}{a}}.
$$
Для тела с массой $ M $ время падения будет:
$$
t_M = \sqrt{\frac{2h}{a_M}}.
$$
Для тела с массой $ m $ время падения будет:
$$
t_m = \sqrt{\frac{2h}{a_m}}.
$$
Так как $ a_M > a_m $, время $ t_M $ для более массивного тела будет меньше времени $ t_m $ для менее массивного тела. Это означает, что тело с большей массой приземлится раньше.
Если учитывать сопротивление воздуха, тела с разными массами ($ M > m $) не приземлятся одновременно, поскольку их ускорения отличаются. Более массивное тело приземлится раньше.
Пожауйста, оцените решение
