Медный провод, имеющий площадь поперечного сечения 1 $мм^{2}$, нужно заменить стальным такой же длины, не изменяя сопротивления. Какой площади поперечного сечения нужно взять стальной провод?
Дано:
$S_{1} = 1 мм^{2}$;
$ρ_{1} = 0,017 \frac{Ом * мм^{2}}{м}$;
$l_{1} = l_{2}$;
$R_{1} = R_{2}$;
$ρ_{2} = 0,12 \frac{Ом * мм^{2}}{м}$.
Найти:
$S_{2}$ − ?
Решение:
$R_{1} = \frac{ρ_{1}l_{1}}{S_{1}}$;
$R_{1} = \frac{0,017 * l_{1}}{1} = 0,017l_{1}$;
$R_{2} = \frac{ρ_{2}l_{2}}{S_{2}}$;
$S_{2} = \frac{ρ_{2}l_{2}}{R_{2}} = \frac{ρ_{2}l_{1}}{R_{1}} = \frac{ρ_{2}l_{1}}{0,017l_{1}} = \frac{ρ_{2}}{0,017}$;
$S_{2} = \frac{0,12}{0,017} = 7 мм^{2}$.
Ответ: 7 $мм^{2}$.
Для решения этой задачи нам нужно обратиться к основным закономерностям электрического сопротивления проводников, а также учитывать свойства материалов (медь и сталь). Давайте разберем теоретическую часть подробно.
$ S $ — площадь поперечного сечения проводника (м²).
Условие задачи
Нам известно, что два проводника (медный и стальной) имеют одинаковую длину $ l $, но разные материалы ($ \rho_{\text{медь}} $ и $ \rho_{\text{сталь}} $) и площади поперечного сечения ($ S_{\text{медь}} $ и $ S_{\text{сталь}} $). При этом сопротивление $ R $ должно остаться неизменным.
Понимание зависимости сопротивления от параметров
Сопротивление проводника пропорционально удельному сопротивлению материала и обратно пропорционально площади сечения. Если материал заменяется, то, чтобы сохранить то же сопротивление:
$$
\rho_{\text{медь}} \cdot \frac{l}{S_{\text{медь}}} = \rho_{\text{сталь}} \cdot \frac{l}{S_{\text{сталь}}}.
$$
Так как длина $ l $ одинакова для обоих проводников, её можно сократить:
$$
\rho_{\text{медь}} \cdot \frac{1}{S_{\text{медь}}} = \rho_{\text{сталь}} \cdot \frac{1}{S_{\text{сталь}}}.
$$
Выразим площадь сечения стального провода
Перепишем уравнение так, чтобы выразить $ S_{\text{сталь}} $:
$$
S_{\text{сталь}} = S_{\text{медь}} \cdot \frac{\rho_{\text{сталь}}}{\rho_{\text{медь}}}.
$$
Значения удельных сопротивлений
Для решения задачи нам понадобятся значения удельных сопротивлений меди и стали. Приблизительные значения:
$ \rho_{\text{медь}} \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м} $;
$ \rho_{\text{сталь}} \approx 1.0 \cdot 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{м} $.
Эти значения показывают, что удельное сопротивление стали значительно выше, чем у меди. Следовательно, для компенсации более высокого сопротивления стали её провод должен иметь большую площадь поперечного сечения.
Связь площадей поперечного сечения
Подставляем известные значения:
$$
S_{\text{сталь}} = S_{\text{медь}} \cdot \frac{\rho_{\text{сталь}}}{\rho_{\text{медь}}}.
$$
Так как $ S_{\text{медь}} $ задано как $ 1 \, \text{мм}^2 $, то результат будет выражен в тех же единицах.
Заключение
В итоге, чтобы найти площадь поперечного сечения стального провода, остаётся провести расчёты, но уже с учетом соотношения удельных сопротивлений меди и стали. Эти расчёты дадут точный ответ, какой площади поперечного сечения должен быть стальной провод для сохранения того же сопротивления.
Пожауйста, оцените решение
