Когда пружину растягивают силой 1 Н, длина пружины равна 10 см, а когда ту же пружину растягивают силой 0,6 Н, длина пружины равна 8 см.
а) Обозначьте жёсткость пружины k, длину недеформированной пружины $l_{0}$, длину растянутой пружины в первом случае $l_{1}$, а силу упругости — $F_{1}$. Запишите соотношение между этими величинами, следующее из закона Гука.
б) Запишите аналогичное соотношение для растянутой пружины во втором случае.
в) Рассмотрите полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными: $l_{0}$ и k. Выразите $l_{0}$ и k через известные величины.
г) Вычислите значения $l_{0}$ и k.
Соотношение между величинами, следующее из закона Гука, в первом случае:
$F_{1}$ = k * ($l_{1}$ − $l_{0}$)
Соотношение между величинами, следующее из закона Гука, во втором случае:
$F_{2}$ = k * ($l_{2}$ − $l_{0}$)
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
F_{1} = k * (l_{1} - l_{0}) &\\
F_{2} = k * (l_{2} - l_{0}) &
\end{cases}
\end{equation*}
$
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
k = \frac{F_{1}}{l_{1}\;-\;l_{0}} &\\
k = \frac{F_{2}}{l_{2}\;-\;l_{0}} &
\end{cases}
\end{equation*}
$
$
\begin{equation*}
\begin{cases}
l_{0} = \frac{kl_{1}\;-\;F_{1}}{k} &\\
l_{0} = \frac{kl_{2}\;-\;F_{2}}{k} &
\end{cases}
\end{equation*}
$
Дано:
$F_{1}$ = 1 Н
$F_{2}$ = 0,6 Н
$l_{1}$ = 10 см
$l_{2}$ = 8 см
Найти:
k = ?
$l_{0}$ = ?
СИ:
$l_{1}$ = 10 * 0,01 м = 0,1 м
$l_{2}$ = 8 * 0,01 м = 0,08 м
Решение:
1) k = $\frac{F_{2}}{l_{2}\;-\;l_{0}}$ = $\frac{F_{1}}{l_{1}\;-\;l_{0}}$
$F_{2}$ * ($l_{1}$ − $l_{0}$) = $F_{1}$ * ($l_{2}$ − $l_{0}$)
$F_{2}$ $l_{1}$ − $F_{2}$ $l_{0}$ = $F_{1}$ $l_{2}$ − $F_{1}$ $l_{0}$
$F_{2}$ $l_{0}$ − $F_{1}$ $l_{0}$ = $F_{2}$ $l_{1}$ − $F_{1}$ $l_{2}$
$l_{0}$ * ($F_{2}$ − $F_{1}$) = $F_{2}$ $l_{1}$ − $F_{1}$ $l_{2}$
$l_{0}$ = $\frac{F_{2}\;l_{1}\;-\;F_{1}\;l_{2}}{F_{2}\;-\;F_{1}}$
$l_{0}$ = $\frac{0,6\;Н\;*\;0,1\;м\;-\;1\;Н\;*\;0,08\;м}{0,6\;Н\;-\;1\;Н}$
$l_{0}$ = $\frac{0,06\;Н\;*\;м\;-\;0,08\;Н\;*\;м}{-0,4\;Н}$
$l_{0}$ = $\frac{-0,02\;Н\;*\;м}{-0,4\;Н}$ = 0,05 м = 5 см
2) $l_{0}$ = $\frac{kl_{2}\;-\;F_{2}}{k}$ = $\frac{kl_{1}\;-\;F_{1}}{k}$
k * (k $l_{2}$ − $F_{2}$) = k * (k $l_{1}$ − $F_{1}$)
$k^{2}$ $l_{2}$ − k $F_{2}$ = $k^{2}$ $l_{1}$ − k $F_{1}$
$k^{2}$ $l_{2}$ − $k^{2}$ $l_{1}$ = k $F_{2}$ − k $F_{1}$
$k^{2}$ * ($l_{2}$ − $l_{1}$) = k * ($F_{2}$ − $F_{1}$) : k
k * ($l_{2}$ − $l_{1}$) = $F_{2}$ − $F_{1}$
k = $\frac{F_{2}\;-\;F_{1}}{l_{2}\;-\;l_{1}}$
k = $\frac{0,6\;Н\;-\;1\;Н}{0,08\;м\;-\;0,1\;м}$
k = $\frac{-0,4\;Н}{-0,02\;м}$ = 20 Н/м
Ответ: $l_{0}$ = 5 см; k = 20 Н/м.
