Докажите тождество: а) 1 ( a − b ) ( b − c ) + 1 ( b − c ) ( c − a ) + 1 ( a − c ) ( b − a ) = 0 ; б) 1 ( a − b ) ( a − c ) + 1 ( b − a ) ( b − c ) + 1 ( c − a ) ( c − b ) = 0 ; в) a 4 − b 4 ( ( a + b ) 2 − 4 a b ) ( ( a − b ) 2 + 4 a b ) ( ( a + b ) 2 − 2 a b ) = 1 a 2 − b 2 .
1 ( a − b ) ( b − c ) + 1 ( b − c ) ( c − a ) + 1 ( a − c ) ( b − a ) = 0 1 ( a − b ) ( b − c ) + 1 ( b − c ) ( c − a ) + 1 ( a − c ) ( b − a ) = 1 1 ( a − b ) ( b − c ) − 1 ( b − c ) ( a − c ) − 1 ( a − c ) ( a − b ) = 1 ( a − c ) − 1 ( a − b ) − 1 ( b − c ) ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ) = a − c − a + b − b + c ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ) = 0 ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ) = 0 Тождество доказано.
1 ( a − b ) ( a − c ) + 1 ( b − a ) ( b − c ) + 1 ( c − a ) ( c − b ) = 1 ( a − b ) ( a − c ) − 1 ( a − b ) ( b − c ) + 1 ( a − c ) ( b − c ) = 1 ( b − c ) − 1 ( a − c ) + 1 ( a − b ) ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ) = 0 ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ) = 0 Тождество доказано.
a 4 − b 4 ( ( a + b ) 2 − 4 a b ) ( ( a − b ) 2 + 4 a b ) ( ( a + b ) 2 − 2 a b ) = 1 a 2 − b 2 a 4 − b 4 ( ( a + b ) 2 − 4 a b ) ( ( a − b ) 2 + 4 a b ) ( ( a + b ) 2 − 2 a b ) = a 4 − b 4 ( ( a + b ) 2 − 4 a b ) ) ( ( a − b ) 2 + 4 a b ) ) ( ( a + b ) 2 − 2 a b = ( a 2 − b 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + 2 a b + b 2 − 4 a b ) ( a 2 − 2 a b + b 2 + 4 a b ) ( a 2 + 2 a b + b 2 − 2 a b ) = ( a − b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 − 2 a b + b 2 ) ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) = ( a − b ) ( a + b ) ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 = 1 ( a − b ) ( a + b ) = 1 a 2 − b 2 Тождество доказано.
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