Докажите тождество:
а) $\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = 0$;
б) $\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0$;
в) $\frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab)((a - b)^2 + 4ab)((a + b)^2 - 2ab)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

Алгебра 7 класс Никольский. 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Номер №568

Решение а

$\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = 0$
$\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = \frac{1}{\frac{1}{(a - b)(b - c)} - \frac{1}{(b - c)(a - c)} - \frac{1}{(a - c)(a - b)}} = \frac{1(a - c) - 1(a - b) - 1(b - c)}{(a - b)(b - c)(a - c)} = \frac{a - c - a + b - b + c}{(a - b)(b - c)(a - c)} = \frac{0}{(a - b)(b - c)(a - c)} = 0$
Тождество доказано.

Решение б

$\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = \frac{1}{(a - b)(a - c)} - \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(a - c)(b - c)} = \frac{1(b - c) - 1(a - c) + 1(a - b)}{(a - b)(b - c)(a - c)} = \frac{0}{(a - b)(b - c)(a - c)} = 0$
Тождество доказано.

Решение в

$\frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab)((a - b)^2 + 4ab)((a + b)^2 - 2ab)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
$\frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab)((a - b)^2 + 4ab)((a + b)^2 - 2ab)} = \frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab))((a - b)^2 + 4ab))((a + b)^2 - 2ab} = \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)(a^2 - 2ab + b^2 + 4ab)(a^2 + 2ab + b^2 - 2ab)} = \frac{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}{(a^2 - 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + b^2)} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a + b)^2} = \frac{1}{(a - b)(a + b)} = \frac{1}{a^2 - b^2}$
Тождество доказано.