$\frac{3}{x^2+y^2-<!--\; -\; -->6x+2y+13}\le 1$ при $x^2+y^2-<!--\; -\; -->6x+2y+13\ge 3$
$x^2+y^2-<!--\; -\; -->6x+2y+13\ge 3$
$x^2+y^2-<!--\; -\; -->6x+2y+13-<!--\; -\; -->3\ge 0$
$x^2+y^2-<!--\; -\; -->6x+2y+10\ge 0$
$x^2-<!--\; -\; -->6x+9+y^2+2y+1\ge 0$
$(x-<!--\; -\; -->3{)}^2+(y+1{)}^2\ge 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x-<!--\; -\; -->3{)}^2=0$
x − 3 = 0
x = 3
$(y+1{)}^2=0$
y + 1 = 0
y = −1
Левая часть равна правой при x = 3 и y = −1.

$\frac{5}{x^2+y^2+8x-<!--\; -\; -->6y+30}\le 1$ при $x^2+y^2+8x-<!--\; -\; -->6y+30\ge 5$
$x^2+y^2+8x-<!--\; -\; -->6y+30\ge 5$
$x^2+y^2+8x-<!--\; -\; -->6y+30-<!--\; -\; -->5\ge 0$
$x^2+y^2+8x-<!--\; -\; -->6y+25\ge 0$
$x^2+8x+16+y^2-<!--\; -\; -->6y+9\ge 0$
$(x+4{)}^2+(y-<!--\; -\; -->3{)}^2\ge 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x+4{)}^2=0$
x + 4 = 0
x = −4
$(y-<!--\; -\; -->3{)}^2=0$
y − 3 = 0
y = 3
Левая часть равна правой при x = −4 и y = 3.