$\frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} ≤ 1$ при $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 ≥ 3$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 ≥ 3$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 - 3 ≥ 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 10 ≥ 0$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 ≥ 0$
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 ≥ 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x - 3)^2 = 0$
x − 3 = 0
x = 3
$(y + 1)^2 = 0$
y + 1 = 0
y = −1
Левая часть равна правой при x = 3 и y = −1.

$\frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} ≤ 1$ при $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 ≥ 5$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 ≥ 5$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 - 5 ≥ 0$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 25 ≥ 0$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 ≥ 0$
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 ≥ 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x + 4)^2 = 0$
x + 4 = 0
x = −4
$(y - 3)^2 = 0$
y − 3 = 0
y = 3
Левая часть равна правой при x = −4 и y = 3.