ГДЗ Алгебра 7 класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин

ГДЗ Алгебра 7 класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин

авторы: , , , .
издательство: Просвещение

Раздел:

Алгебра 7 класс Никольский. 6.9. Применение формул сокращенного умножения. Номер №449

Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c + b d ) 2 + ( b c a d ) 2 ;
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c b d ) 2 + ( b c + a d ) 2 .

reshalka.com

Алгебра 7 класс Никольский. 6.9. Применение формул сокращенного умножения. Номер №449

Решение

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c + b d ) 2 + ( b c a d ) 2
Преобразуем левую часть равенства:
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2
Преобразуем правую часть равенства:
( a c + b d ) 2 + ( b c a d ) 2 = a 2 c 2 + 2 a b c d + b 2 d 2 + b 2 c 2 2 a b c d + a 2 d 2 = a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2
Утверждение доказано.
 
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c b d ) 2 + ( b c + a d ) 2
Преобразуем левую часть равенства:
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2
Преобразуем правую часть равенства:
( a c b d ) 2 + ( b c + a d ) 2 = a 2 c 2 2 a b c d + b 2 d 2 + b 2 c 2 + 2 a b c d + a 2 d 2 = a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2
Утверждение доказано.