$(a^3+1)(a-<!--\; -\; -->1)=(a^2-<!--\; -\; -->a+1)(a^2-<!--\; -\; -->1)$
Преобразуем правую часть равенства:
$(a^2-<!--\; -\; -->a+1)(a^2-<!--\; -\; -->1)=(a^2-<!--\; -\; -->a+1)(a+1)(a-<!--\; -\; -->1)=(a^3+1)(a-<!--\; -\; -->1)$
Тождество доказано.

$m^3+1=m(m+1)+(1-<!--\; -\; -->m)(1-<!--\; -\; -->m^2)$
Преобразуем правую часть равенства:
$m(m+1)+(1-<!--\; -\; -->m)(1-<!--\; -\; -->m^2)=m(m+1)+(1-<!--\; -\; -->m)(1-<!--\; -\; -->m)(1+m)=(1+m)(m+(1-<!--\; -\; -->m)(1-<!--\; -\; -->m))=(1+m)(m+1-<!--\; -\; -->2m+m^2)=(1+m)(1-<!--\; -\; -->m+m^2)=1+m^3=m^3+1$
Тождество доказано.

$(a+2)(a^2-<!--\; -\; -->2a+4)-<!--\; -\; -->a(a-<!--\; -\; -->3)(3+a)=9a+8$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a+2)(a^2-<!--\; -\; -->2a+4)-<!--\; -\; -->a(a-<!--\; -\; -->3)(3+a)=(a+2)(a^2-<!--\; -\; -->2a+4)-<!--\; -\; -->a(a-<!--\; -\; -->3)(a+3)=a^3+8-<!--\; -\; -->a(a^2-<!--\; -\; -->9)=a^3+8-<!--\; -\; -->a^3+9a=9a+8$
Тождество доказано.

$m(m+n)(m-<!--\; -\; -->n)-<!--\; -\; -->(n+m)(m^2-<!--\; -\; -->mn+n^2)=-<!--\; -\; -->n^2(m+n)$
Преобразуем левую часть равенства:
$m(m+n)(m-<!--\; -\; -->n)-<!--\; -\; -->(n+m)(m^2-<!--\; -\; -->mn+n^2)=m(m^2-<!--\; -\; -->n^2)-<!--\; -\; -->(n^3+m^3)=m^3-<!--\; -\; -->m{n}^2-<!--\; -\; -->n^3-<!--\; -\; -->m^3=-<!--\; -\; -->m{n}^2-<!--\; -\; -->n^3=-<!--\; -\; -->n^2(m+n)$
Тождество доказано.