a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0
Преобразуем левую часть:
a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a) = 0
Преобразуем левую часть:
ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a) = abc − abd − acd + bcd − abc + acd − bcd + abd = 0
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$
Преобразуем левую часть:
$(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = (2m^2 - 2mn + 3mn - 3n^2)(m - 7) + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = (2m^2 + mn - 3n^2)(m - 7) + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2 + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$
Преобразуем правую часть:
$m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$
Преобразуем левую часть:
$(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = (a^5b - a^2b^2 - 2a^3b^2 + 2b^3)(a - 3b) + 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4 = a^6b - a^3b^2 - 2a^4b^2 + 2ab^3 - 3a^5b^2 + 3a^2b^3 + 6a^3b^3 - 6b^4 + 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4 = a^6b - a^3b^2$
Преобразуем правую часть:
$a^3b(a^3 - b) = a^6b - a^3b^2$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$
Преобразуем левую часть:
$(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 4a^3 - 16a^2 + 16a + 4a^2 - 16a + 16 - a^4 + 8a^2 = 16$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$
Преобразуем левую часть:
$(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 16a^4 + 16a^3 + 4a^2 - 16a^3 - 16a^2 + 4a + 4a^2 - 4a + 1 - 16a^4 + 8a^2 = 1$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$
Преобразуем левую часть:
$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = (a^2 - a + a - 1)(a^6 + a^4 + a^2 + 1) - a^8 = (a^2 - 1)(a^6 + a^4 + a^2 + 1) - a^8 = a^8 + a^6 + a^4 + a^2 - a^6 - a^4 - a^2 - 1 - a^8 = -1$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$
Преобразуем левую часть:
$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = (a^2 - 2a + 2a - 4)(a^6 + 4a^4 + 16a^2 + 64) - a^8 = (a^2 - 4)(a^6 + 4a^4 + 16a^2 + 64) - a^8 = a^8 + 4a^6 + 16a^4 + 64a^2 - 4a^6 - 16a^4 - 64a^2 - 256 - a^8 = -256$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.