Докажите признак делимости (для n = 5 или n = 6):
а) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 2, если число $a_0$ делится на 2;
б) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 5, если число $a_0$ делится на 5;
в) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 10, если число $a_0 = 0$;
г) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 4, если или число $a = \overline{a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 25, или $a_1 = a_0 = 0$;
е) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 3, если сумма его цифр $a_0 + a_1 + ... + a_n$ делится на 3.
Найдем разность:
$a - a_0 = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - a_0 = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 = \overline{a_n...a_2a_1} * 5 * 2$ − разность делится на 2.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 + a_0$ − делится на 2, так как каждое слагаемое делится на 2.
Утверждение доказано.
Найдем разность:
$a - a_0 = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - a_0 = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 = \overline{a_n...a_2a_1} * 2 * 5$ − разность делится на 5.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 + a_0$ − делится на 5, так как каждое слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10$ − делится на 10.
Утверждение доказано.
Найдем разность:
$a - \overline{a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_1a_0} = \overline{a_n...a_200} = \overline{a_n...a_2} * 100 = \overline{a_n...a_2} * 4 * 25$ − разность делится на 4.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2} * 100 + \overline{a_1a_0}$ − делится на 4, так как каждое слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.
$\overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 3 * 33...3 * a_n + ... + 3 * 33 * a_2 + 3 * 3 * a_1 + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0) = 3 * (33...3 * a_n + ... + 33 * a_2 + 3 * a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − делится на 3, так как каждое слагаемое делится на 3.
Пожауйста, оцените решение
