Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Другие варианты решения

Номер №752

Пусть
x 1 , x 2 , . . . , x 25
− некоторый набор чисел, а набор
y 1 , y 2 , . . . , y 25
получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения
( x 1 y 1 ) ( x 2 y 2 ) . . . ( x 25 y 25 )
является четным числом.

Решение

Если
x 1 , x 2 , . . . , x 25
− четные, то
x 1 y 1
− четные, поэтому произведение четное.
Если
x 1 , x 2 , . . . , x 25
− нечетные, то
x 1 y 1
− четные, поэтому произведение четное.
Если количество четных значений x больше, чем нечетных, то хотя бы одна разность
( x 1 y 1 )
состояла бы из четных чисел, поэтому разность четная и произведение четное.
Если количество четных значений x меньше, чем нечетных, то хотя бы одна разность
( x 1 y 1 )
состояла бы из нечетных чисел, поэтому разность четная и произведение четное.
Следовательно мы рассмотрели все возможные случаи значений
x 1 , x 2 , . . . , x 25
и при любых натуральных значениях выражение
( x 1 y 1 ) ( x 2 y 2 ) . . . ( x 25 y 25 )
является четным числом.
Другие варианты решения