Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Другие варианты решения

Номер №731

Докажите тождество:
1)
( a + b + c ) 3 a 3 b 3 c 3 = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
;
2)
( a b ) 3 + ( b c ) 3 ( a c ) 3 = 3 ( a b ) ( b c ) ( a c )
.

Решение 1

( a + b + c ) 3 a 3 b 3 c 3 = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )

( a + b + c ) 3 a 3 b 3 c 3 = ( ( a + b + c ) 3 a 3 ) ( b 3 + c 3 ) = ( a + b + c a ) ( ( a + b + c ) 2 + a ( a + b + c ) + a 2 ) ( b + c ) ( b 2 b c + c 2 ) = ( b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c + a 2 + a b + a c + a 2 b 2 + b c c 2 ) = ( b + c ) ( 3 a 2 + 3 a b + 3 a c + 3 b c ) = 3 ( b + c ) ( a 2 + a b + a c + b c ) = 3 ( b + c ) ( ( a 2 + a b ) + ( a c + b c ) ) = 3 ( b + c ) ( a ( a + b ) + c ( a + b ) ) = 3 ( b + c ) ( a + b ) ( a + c ) = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )

Решение 2

( a b ) 3 + ( b c ) 3 ( a c ) 3 = 3 ( a b ) ( b c ) ( a c )

( a b ) 3 + ( b c ) 3 ( a c ) 3 = ( ( a b ) 3 + ( b c ) 3 ) ( a c ) 3 = ( a b + b c ) ( ( a b ) 2 ( a b ) ( b c ) + ( b c ) 2 ) ( a c ) 3 = ( a c ) ( a 2 2 a b + b 2 ( a b b 2 a c + b c ) + b 2 2 b c + c 2 ) ( a c ) 3 = ( a c ) ( a 2 2 a b + b 2 a b + b 2 + a c b c + b 2 2 b c + c 2 ) ( a c ) 3 = ( a c ) ( a 2 3 a b + 3 b 2 3 b c + a c + c 2 ) ( a c ) 3 = ( a c ) ( a 2 3 a b + 3 b 2 3 b c + a c + c 2 ( a c ) 2 ) = ( a c ) ( a 2 3 a b + 3 b 2 3 b c + a c + c 2 ( a 2 2 a c + c 2 ) ) = ( a c ) ( a 2 3 a b + 3 b 2 3 b c + a c + c 2 a 2 + 2 a c c 2 ) = ( a c ) ( 3 a b + 3 b 2 3 b c + 3 a c ) = 3 ( a c ) ( a b b 2 + b c a c ) = 3 ( a c ) ( ( a b b 2 ) + ( b c a c ) ) = 3 ( a c ) ( b ( a b ) + c ( b a ) ) = 3 ( a c ) ( b ( a b ) c ( a b ) ) = 3 ( a c ) ( a b ) ( b c ) = 3 ( a b ) ( b c ) ( a c )
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