Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №615

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Решение

Пусть n − 2 − первое число, тогда:
n − 1 − второе число;
n − третье число;
n + 1 − четвертое число;
n + 2 − пятое число, тогда:
( n 2 ) 2 + ( n 1 ) 2 + n 2 + ( n + 1 ) 2 + ( n + 2 ) 2 = n 2 4 n + 4 + n 2 2 n + 1 + n 2 + n 2 + 2 n + 1 + n 2 + 4 n + 4 = ( n 2 + n 2 + n 2 + n 2 + n 2 ) + ( 4 n 2 n + 2 n + 4 n ) + ( 4 + 1 + 1 + 4 ) = 5 n 2 + 10 = 5 ( n 2 + 2 )

Выражение
5 n 2 + 10
нельзя представить в виде
( a n + b ) 2
, следовательно не существует пяти последовательных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.