Докажите, что значение выражения $2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}$ кратно числу:
1) 15;
2) 240.
$2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98} = 2^{36} + (2^2)^{100} - 2^{32} - (2^2)^{98} = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196} = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196}) = 2^{32}(2^{4} - 1) + 2^{196}(2^{4} - 1) = (2^{4} - 1)(2^{32} + 2^{196}) = (16 - 1)(2^{32} + 2^{196}) = 15(2^{32} + 2^{196})$, следовательно данное выражение кратно 15.
$2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98} = 2^{36} + (2^2)^{100} - 2^{32} - (2^2)^{98} = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196} = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196}) = 2^{32}(2^{4} - 1) + 2^{196}(2^{4} - 1) = (2^{4} - 1)(2^{32} + 2^{196}) = (16 - 1)(2^{32} + 2^{196}) = 15(2^{32} + 2^{196}) = 15 * 2^{4}(2^{28} + 2^{192}) = 15 * 16(2^{28} + 2^{192}) = 240(2^{28} + 2^{192})$, следовательно данное выражение кратно 240.
Пожауйста, оцените решение
