(Задача−исследование.) Верно ли, что если p − простое число, большее трех, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12.
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
при p = 5:
$p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24 = 12 * 2$ − значение выражения кратно 12;
при p = 7:
$p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48 = 12 * 4$ − значение выражения кратно 12.
$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$
Так как, p − простое число больше 3, значит p − нечетное число, тогда выражения (p − 1) и (p + 1) − будут четными. Так как, (p − 1) кратно 2 и (p + 1) кратно 2, то их произведение кратно 4.
Известно, что одно из трех последовательных чисел делится на 3. Так как p − простое число больше 3, значит оно на 3 не делится, соответственно на 3 будут делится либо (p − 1), либо (p + 1).
Из пунктов 2 и 3 получили, что выражение кратно 4 и кратно 3, соответственно выражение будет кратно 12.
Пожауйста, оцените решение
